Номер 1196, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1196, страница 233.

1196. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 90 см². Если же длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 20 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть длина исходного прямоугольника равна $x$ см, а ширина — $y$ см. Тогда его площадь $S$ равна $x \cdot y$ см?.

Согласно первому условию, если каждую сторону увеличить на 3 см, то новые стороны будут равны $(x + 3)$ см и $(y + 3)$ см. Новая площадь станет $(x + 3)(y + 3)$ см?, что на 90 см? больше исходной. Составим и упростим первое уравнение:
$(x + 3)(y + 3) = xy + 90$
$xy + 3x + 3y + 9 = xy + 90$
$3x + 3y = 81$
$x + y = 27$

Согласно второму условию, если длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то новые стороны будут равны $(x + 5)$ см и $(y - 2)$ см. Новая площадь станет $(x + 5)(y - 2)$ см?, что на 20 см? больше исходной. Составим и упростим второе уравнение:
$(x + 5)(y - 2) = xy + 20$
$xy - 2x + 5y - 10 = xy + 20$
$-2x + 5y = 30$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 27 \\ -2x + 5y = 30 \end{cases} $

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 27 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $y$:
$-2(27 - y) + 5y = 30$
$-54 + 2y + 5y = 30$
$7y = 84$
$y = \frac{84}{7}$
$y = 12$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$:
$x = 27 - 12 = 15$

Таким образом, длина прямоугольника составляет 15 см, а ширина — 12 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.