Номер 1196, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 15 - номер 1196, страница 233.

Условие.

1196. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 90 см². Если же длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 20 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1.

Пусть x см – длина прямоугольника,y см – ширина прямоугольника. Если дину и ширину увеличить на 3 см, то площадь прямоугольника увеличится на 90 см². Если длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится на 20 см². Составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}(\mathrm{x}+3)(\mathrm{y}+3)-\mathrm{xy}=90,\\ (\mathrm{x}+5)(\mathrm{y}-2)-\mathrm{xy}=20,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{xy}+3\mathrm{x}+3\mathrm{y}+9-\mathrm{xy}=90,\\ \mathrm{xy}-2\mathrm{x}+5\mathrm{y}-10-\mathrm{xy}=20,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+3\mathrm{y}=90-9,\\ -2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=20+10,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+3\mathrm{y}=81,\\ -2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=30,\end{array}\left\{\begin{array}{l}3(\mathrm{x}+\mathrm{y})=81,\\ -2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=30,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=27 /·2,\\ -2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=30,\end{array}\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=54,\\ -2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=30,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}7\mathrm{y}=84,\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=27,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12,\\ \mathrm{x}+12=27,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=15,\\ \mathrm{y}=12\end{array}\right.$

Ответ: 15 см и 12 см.

Решение 2.

Пусть длина исходного прямоугольника равна $x$ см, а ширина — $y$ см. Тогда его площадь $S$ равна $x \cdot y$ см?.

Согласно первому условию, если каждую сторону увеличить на 3 см, то новые стороны будут равны $(x + 3)$ см и $(y + 3)$ см. Новая площадь станет $(x + 3)(y + 3)$ см?, что на 90 см? больше исходной. Составим и упростим первое уравнение:
$(x + 3)(y + 3) = xy + 90$
$xy + 3x + 3y + 9 = xy + 90$
$3x + 3y = 81$
$x + y = 27$

Согласно второму условию, если длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то новые стороны будут равны $(x + 5)$ см и $(y - 2)$ см. Новая площадь станет $(x + 5)(y - 2)$ см?, что на 20 см? больше исходной. Составим и упростим второе уравнение:
$(x + 5)(y - 2) = xy + 20$
$xy - 2x + 5y - 10 = xy + 20$
$-2x + 5y = 30$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 27 \\ -2x + 5y = 30 \end{cases} $

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 27 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $y$:
$-2(27 - y) + 5y = 30$
$-54 + 2y + 5y = 30$
$7y = 84$
$y = \frac{84}{7}$
$y = 12$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$:
$x = 27 - 12 = 15$

Таким образом, длина прямоугольника составляет 15 см, а ширина — 12 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.