Номер 1192, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1192, страница 232.

1192. (Для работы в парах.) Напишите уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через точки:
a) M(−1; 1) и Р(4; 4); б) А(−3; 3) и В(3; −3).
1) Обсудите друг с другом ход решения задачи.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли составлены уравнения, построив соответствующие графики.

Для того чтобы найти уравнение прямой вида $y = kx + b$, проходящей через две заданные точки, необходимо определить значения коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член). Для этого нужно составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($k$ и $b$), подставив координаты каждой из двух точек в уравнение прямой. После решения системы мы найдем искомые коэффициенты.

а) Напишем уравнение прямой, проходящей через точки M(–1; 1) и P(4; 4).
Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$:
1. Для точки M(–1; 1): $1 = k \cdot (–1) + b \implies -k + b = 1$
2. Для точки P(4; 4): $4 = k \cdot 4 + b \implies 4k + b = 4$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases}-k + b = 1 \\4k + b = 4\end{cases}$
Чтобы решить систему, вычтем первое уравнение из второго:
$(4k + b) - (-k + b) = 4 - 1$
$4k + k = 3$
$5k = 3$
$k = \frac{3}{5}$
Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в первое уравнение:
$-(\frac{3}{5}) + b = 1$
$b = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$.
Проверим правильность, подставив координаты точек в полученное уравнение:
Для M(–1; 1): $1 = \frac{3}{5}(-1) + \frac{8}{5} \implies 1 = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} \implies 1 = \frac{5}{5}$, что верно.
Для P(4; 4): $4 = \frac{3}{5}(4) + \frac{8}{5} \implies 4 = \frac{12}{5} + \frac{8}{5} \implies 4 = \frac{20}{5}$, что верно.
Ответ: $y = \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$

б) Напишем уравнение прямой, проходящей через точки A(–3; 3) и B(3; –3).
Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$:
1. Для точки A(–3; 3): $3 = k \cdot (–3) + b \implies -3k + b = 3$
2. Для точки B(3; –3): $-3 = k \cdot 3 + b \implies 3k + b = -3$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases}-3k + b = 3 \\3k + b = -3\end{cases}$
Чтобы решить систему, сложим оба уравнения:
$(-3k + b) + (3k + b) = 3 + (-3)$
$2b = 0$
$b = 0$
Теперь найдем $k$, подставив значение $b$ во второе уравнение:
$3k + 0 = -3$
$3k = -3$
$k = -1$
Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = -1 \cdot x + 0$, что упрощается до $y = -x$.
Проверим правильность, подставив координаты точек в полученное уравнение:
Для A(–3; 3): $3 = -(-3) \implies 3 = 3$, что верно.
Для B(3; –3): $-3 = -(3) \implies -3 = -3$, что верно.
Ответ: $y = -x$