Номер 1186, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1186, страница 232.

1186. Решите систему уравнений:

а)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{5} = 1 - \frac{y}{15} \\ 2x - 5y = 0 \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение. Для этого умножим обе его части на 15 (наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 15), чтобы избавиться от дробей:

$ 15 \cdot \frac{x}{5} = 15 \cdot 1 - 15 \cdot \frac{y}{15} $

$ 3x = 15 - y $

Перенесем $y$ в левую часть:

$ 3x + y = 15 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 3x + y = 15 \\ 2x - 5y = 0 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$ y = 15 - 3x $

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$ 2x - 5(15 - 3x) = 0 $

$ 2x - 75 + 15x = 0 $

$ 17x = 75 $

$ x = \frac{75}{17} $

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 15 - 3x$:

$ y = 15 - 3 \cdot \frac{75}{17} = \frac{15 \cdot 17}{17} - \frac{225}{17} = \frac{255 - 225}{17} = \frac{30}{17} $

Ответ: $(\frac{75}{17}; \frac{30}{17})$.

б)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, умножив его на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5):

$ 20 \cdot \frac{m}{4} + 20 \cdot \frac{3n}{5} = 20 \cdot 1 $

$ 5m + 12n = 20 $

Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ 5m + 12n = 20 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -3:

$ \begin{cases} 15m + 25n = 5 \\ -15m - 36n = -60 \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$ (15m + 25n) + (-15m - 36n) = 5 + (-60) $

$ -11n = -55 $

$ n = 5 $

Подставим найденное значение $n$ в первое исходное уравнение $3m + 5n = 1$:

$ 3m + 5 \cdot 5 = 1 $

$ 3m + 25 = 1 $

$ 3m = -24 $

$ m = -8 $

Ответ: $(-8; 5)$.

в)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ \frac{2x + 1}{6} = \frac{9 - 5y}{8} \end{cases} $

Упростим второе уравнение, используя основное свойство пропорции (или умножив обе части на 24, наименьшее общее кратное для 6 и 8):

$ 8(2x + 1) = 6(9 - 5y) $

Можно разделить обе части на 2, чтобы упростить вычисления:

$ 4(2x + 1) = 3(9 - 5y) $

$ 8x + 4 = 27 - 15y $

$ 8x + 15y = 23 $

Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases} $

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 5:

$ \begin{cases} 20x - 15y = 5 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$ (20x - 15y) + (8x + 15y) = 5 + 23 $

$ 28x = 28 $

$ x = 1 $

Подставим $x = 1$ в первое исходное уравнение $4x - 3y = 1$:

$ 4 \cdot 1 - 3y = 1 $

$ 4 - 3y = 1 $

$ -3y = -3 $

$ y = 1 $

Ответ: $(1; 1)$.

г)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3q = 4p - 7 \\ \frac{1 - 3q}{4} = \frac{4 - 2p}{3} \end{cases} $

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ap + Bq = C$.

Первое уравнение: $ 4p - 3q = 7 $.

Упростим второе уравнение, умножив обе части на 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3):

$ 3(1 - 3q) = 4(4 - 2p) $

$ 3 - 9q = 16 - 8p $

$ 8p - 9q = 13 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 4p - 3q = 7 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases} $

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на -2:

$ \begin{cases} -8p + 6q = -14 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$ (-8p + 6q) + (8p - 9q) = -14 + 13 $

$ -3q = -1 $

$ q = \frac{1}{3} $

Подставим $q = \frac{1}{3}$ в уравнение $4p - 3q = 7$:

$ 4p - 3 \cdot \frac{1}{3} = 7 $

$ 4p - 1 = 7 $

$ 4p = 8 $

$ p = 2 $

Ответ: $(2; \frac{1}{3})$.