Номер 1182, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1182, страница 231.

1182. При каком значении с система уравнений

$\left\{\begin{array}{c}3x - y = 10,\\ 9x - 3y = c\end{array}\right.$

имеет бесконечно много решений?

Для того чтобы система линейных уравнений имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы уравнения системы были эквивалентны, то есть одно уравнение можно было получить из другого путем умножения на некоторое число. Графически это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, совпадают.

Рассмотрим данную систему уравнений:
$ \begin{cases} 3x - y = 10 \\ 9x - 3y = c \end{cases} $

Можно заметить, что левая часть второго уравнения, $9x - 3y$, ровно в 3 раза больше левой части первого уравнения, $3x - y$:
$3 \cdot (3x - y) = 9x - 3y$

Чтобы второе уравнение было следствием первого (и, таким образом, система имела бесконечно много решений), необходимо, чтобы и правая часть второго уравнения была в 3 раза больше правой части первого.
Умножим обе части первого уравнения на 3:
$3 \cdot (3x - y) = 3 \cdot 10$
$9x - 3y = 30$

Теперь сравним полученное уравнение $9x - 3y = 30$ со вторым уравнением системы $9x - 3y = c$.
Чтобы эти уравнения были идентичны, их правые части должны быть равны.
Следовательно, $c = 30$.

При значении $c = 30$ система будет иметь бесконечно много решений.
Ответ: 30