Номер 1178, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1178, страница 230.

1178. Решите графически систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} + 3\mathrm{x}= 0,\\ \mathrm{x} - \mathrm{y} = 4;\\ \mathrm{x} + \mathrm{y} = -2;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} + \mathrm{y} = 1,\\ \mathrm{y} - \mathrm{x} = 3 ,\\ 2\mathrm{x} + \mathrm{y} = 0.\end{array}\right.$

а) Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} y + 3x = 0 \\ x - y = 4 \\ x + y = -2 \end{cases} $ необходимо построить графики всех трех уравнений в одной координатной плоскости. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

Приведем каждое уравнение к виду $y=kx+b$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом) и найдем по две точки для построения каждой прямой:

1. Первое уравнение: $y + 3x = 0 \implies y = -3x$.
Это прямая пропорциональность. Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$.
Если $x=1$, то $y=-3(1)=-3$. Точка $(1, -3)$.

2. Второе уравнение: $x - y = 4 \implies -y = -x + 4 \implies y = x - 4$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=0-4=-4$. Точка $(0, -4)$.
Если $x=4$, то $y=4-4=0$. Точка $(4, 0)$.

3. Третье уравнение: $x + y = -2 \implies y = -x - 2$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=-0-2=-2$. Точка $(0, -2)$.
Если $x=-2$, то $y=-(-2)-2=0$. Точка $(-2, 0)$.

Построив графики этих трех прямых на координатной плоскости, мы увидим, что они все пересекаются в одной точке. Координаты этой точки пересечения — $(1, -3)$.

Проверим, является ли точка $(1, -3)$ решением, подставив ее координаты в каждое уравнение системы:
1) $-3 + 3(1) = -3+3=0$ (верно)
2) $1 - (-3) = 1+3=4$ (верно)
3) $1 + (-3) = -2$ (верно)
Так как координаты точки удовлетворяют всем трем уравнениям, она является решением системы.

Ответ: $(1, -3)$.

б) Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} x + y = 1 \\ y - x = 3 \\ 2x + y = 0 \end{cases} $ построим графики всех трех уравнений в одной координатной плоскости.

Приведем каждое уравнение к виду $y=kx+b$ и найдем по две точки для построения каждой прямой:

1. Первое уравнение: $x + y = 1 \implies y = -x + 1$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=1$. Точка $(0, 1)$.
Если $x=1$, то $y=-1+1=0$. Точка $(1, 0)$.

2. Второе уравнение: $y - x = 3 \implies y = x + 3$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=3$. Точка $(0, 3)$.
Если $x=-1$, то $y=-1+3=2$. Точка $(-1, 2)$.

3. Третье уравнение: $2x + y = 0 \implies y = -2x$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$.
Если $x=-1$, то $y=-2(-1)=2$. Точка $(-1, 2)$.

Построив графики этих трех прямых, мы находим их общую точку пересечения. Все три прямые пересекаются в точке с координатами $(-1, 2)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:
1) $(-1) + 2 = 1$ (верно)
2) $2 - (-1) = 2+1=3$ (верно)
3) $2(-1) + 2 = -2+2=0$ (верно)
Координаты точки удовлетворяют всем уравнениям, следовательно, это решение системы.

Ответ: $(-1, 2)$.