Номер 1185, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1185, страница 231.

1185. Найдите решение системы уравнений:

а)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 6(x + y) = 8 + 2x - 3y, \\ 5(y - x) = 5 + 3x + 2y; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и перенеся переменные в левую часть, а числа — в правую.

Первое уравнение:

$6x + 6y = 8 + 2x - 3y$

$6x - 2x + 6y + 3y = 8$

$4x + 9y = 8$

Второе уравнение:

$5y - 5x = 5 + 3x + 2y$

$-5x - 3x + 5y - 2y = 5$

$-8x + 3y = 5$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 4x + 9y = 8 \\ -8x + 3y = 5 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными.

$2 \cdot (4x + 9y) = 2 \cdot 8$

$8x + 18y = 16$

Теперь сложим полученное уравнение с вторым уравнением системы ($-8x + 3y = 5$):

$(8x + 18y) + (-8x + 3y) = 16 + 5$

$21y = 21$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y$ в первое упрощенное уравнение ($4x + 9y = 8$):

$4x + 9(1) = 8$

$4x + 9 = 8$

$4x = -1$

$x = -1/4$

Ответ: $(-1/4; 1)$.

б)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} -2(2x + 1) + 1,5 = 3(y - 2) - 6x, \\ 11,5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x); \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$-4x - 2 + 1,5 = 3y - 6 - 6x$

$-4x - 0,5 = 3y - 6 - 6x$

$-4x + 6x - 3y = -6 + 0,5$

$2x - 3y = -5,5$

Второе уравнение:

$11,5 - 12 + 4x = 2y - 5 + x$

$-0,5 + 4x = 2y - 5 + x$

$4x - x - 2y = -5 + 0,5$

$3x - 2y = -4,5$

Получили систему:

$\begin{cases} 2x - 3y = -5,5 \\ 3x - 2y = -4,5 \end{cases}$

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\begin{cases} 4x - 6y = -11 \\ 6x - 4y = -9 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$\begin{cases} 12x - 18y = -33 \\ -12x + 8y = 18 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(12x - 18y) + (-12x + 8y) = -33 + 18$

$-10y = -15$

$y = 1,5$

Подставим значение $y$ в уравнение $2x - 3y = -5,5$:

$2x - 3(1,5) = -5,5$

$2x - 4,5 = -5,5$

$2x = -1$

$x = -0,5$

Ответ: $(-0,5; 1,5)$.

в)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48, \\ 3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$8x - 4y + 12 - 3x + 6y - 9 = 48$

$5x + 2y + 3 = 48$

$5x + 2y = 45$

Второе уравнение:

$9x - 12y + 9 + 16x - 8y - 36 = 48$

$25x - 20y - 27 = 48$

$25x - 20y = 75$

Разделим второе уравнение на 5: $5x - 4y = 15$.

Получили систему:

$\begin{cases} 5x + 2y = 45 \\ 5x - 4y = 15 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(5x + 2y) - (5x - 4y) = 45 - 15$

$6y = 30$

$y = 5$

Подставим значение $y$ в первое упрощенное уравнение ($5x + 2y = 45$):

$5x + 2(5) = 45$

$5x + 10 = 45$

$5x = 35$

$x = 7$

Ответ: $(7; 5)$.

г)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17), \\ 10(x - y) = 3y + 4(1 - x); \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$84 + 3x - 9y = 36x - 4y - 68$

$3x - 36x - 9y + 4y = -68 - 84$

$-33x - 5y = -152$

$33x + 5y = 152$

Второе уравнение:

$10x - 10y = 3y + 4 - 4x$

$10x + 4x - 10y - 3y = 4$

$14x - 13y = 4$

Получили систему:

$\begin{cases} 33x + 5y = 152 \\ 14x - 13y = 4 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 13, а второе на 5:

$\begin{cases} 13 \cdot (33x + 5y) = 13 \cdot 152 \\ 5 \cdot (14x - 13y) = 5 \cdot 4 \end{cases}$

$\begin{cases} 429x + 65y = 1976 \\ 70x - 65y = 20 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(429x + 65y) + (70x - 65y) = 1976 + 20$

$499x = 1996$

$x = 1996 / 499 = 4$

Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение ($14x - 13y = 4$):

$14(4) - 13y = 4$

$56 - 13y = 4$

$-13y = 4 - 56$

$-13y = -52$

$y = 4$

Ответ: $(4; 4)$.