Номер 1185, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 15 - номер 1185, страница 231.

Условие.

1185. Найдите решение системы уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}6(\mathrm{x}+\mathrm{y})=8+2\mathrm{x}-3\mathrm{y},\\ 5(\mathrm{y}-\mathrm{x})=5+3\mathrm{x}+2\mathrm{y},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}6\mathrm{x}+6\mathrm{y}-2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=8,\\ 5\mathrm{y}-5\mathrm{x}-3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=5,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}4\mathrm{x}+9\mathrm{y}=8 /·2,\\ -8\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}8\mathrm{x}+18\mathrm{y}=16,\\ -8\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}21\mathrm{y}=21,\\ 4\mathrm{x}+9\mathrm{y}=8,\end{array}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=1,\\ 4\mathrm{x}+9·1=8,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=1,\\ 4\mathrm{x}+9=8,\end{array}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=1,\\ 4\mathrm{x}=-1,\end{array}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=1,\\ \mathrm{x}=-\frac{1}{4},\end{array}\right.\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=1,\\ \mathrm{x}=-0,25\end{array}\right.$

Ответ: (-0,25; 1).

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}-2(2\mathrm{x}+1)+1,5=3(\mathrm{y}-2)-6\mathrm{x},\\ 11,5-4(3-\mathrm{x})=2\mathrm{y}-(5-\mathrm{x}),\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-4\mathrm{x}-2+1,5=3\mathrm{y}-6-6\mathrm{x},\\ 11,5-12+4\mathrm{x}=2\mathrm{y}-5+\mathrm{x},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-4\mathrm{x}+6\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-6+2-1,5,\\ 4\mathrm{x}-\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-5+12-11,5,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-5,5 /·(-2),\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-4,5 /·3,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-4\mathrm{x}+6\mathrm{y}=11,\\ 9\mathrm{x}-6\mathrm{y}=-13,5,\end{array}\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-2,5,\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-4,5,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{-2,5}{5},\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-4,5,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-0,5,\\ 3·(-0,5)-2\mathrm{y}=-4,5,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-0,5,\\ -1,5-2\mathrm{y}=-4,5,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-0,5,\\ 2\mathrm{y}=-1,5+4,5,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-0,5,\\ 2\mathrm{y}=3,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-0,5,\\ \mathrm{y}=1,5.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-0,5; 1,5).

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}4(2\mathrm{x}-\mathrm{y}+3)-3(\mathrm{x}-2\mathrm{y}+3)=48,\\ 3(3\mathrm{x}-4\mathrm{y}+3)+4(4\mathrm{x}-2\mathrm{y}-9)=48,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}8\mathrm{x}-4\mathrm{y}+12-3\mathrm{x}+6\mathrm{y}-9=48,\\ 9\mathrm{x}-12\mathrm{y}+9+16\mathrm{x}-8\mathrm{y}-36=48,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=48-12+9,\\ 25\mathrm{x}-20\mathrm{y}=48-9+36,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=45,\\ 25\mathrm{x}-20\mathrm{y}=75 /:(-5),\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=45,\\ -5\mathrm{x}+4\mathrm{y}=-15,\end{array}\left\{\begin{array}{l}6\mathrm{y}=30,\\ 5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=45,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=5,\\ 5\mathrm{x}+2·5=45,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=5,\\ 5\mathrm{x}+10=45,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=5,\\ 5\mathrm{x}=45-10,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=5,\\ 5\mathrm{x}=35,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=5,\\ \mathrm{x}=7\end{array}\right.\right.\right.$

Ответ: (7; 5).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}84+3(\mathrm{x}-3\mathrm{y})=36\mathrm{x}-4(\mathrm{y}+17),\\ 10(\mathrm{x}-\mathrm{y})=3\mathrm{y}+4(1-\mathrm{x}),\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}84+3\mathrm{x}-9\mathrm{y}=36\mathrm{x}-4\mathrm{y}-68,\\ 10\mathrm{x}-10\mathrm{y}=3\mathrm{y}+4-4\mathrm{x},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+4\mathrm{y}-9\mathrm{y}-36\mathrm{x}=-68-84,\\ 10\mathrm{x}+4\mathrm{x}-10\mathrm{y}-3\mathrm{y}=4,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-33\mathrm{x}-5\mathrm{y}=-152 /·(-13),\\ 14\mathrm{x}-13\mathrm{y}=4 /·5,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}429\mathrm{x}+65\mathrm{y}=1976,\\ 70\mathrm{x}-65\mathrm{y}=20,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}499\mathrm{x}=1996,\\ 14\mathrm{x}-13\mathrm{y}=4,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,\\ 14·4-13\mathrm{y}=4,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,\\ 56-13\mathrm{y}=4,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,\\ 13\mathrm{y}=52,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,\\ \mathrm{y}=4\end{array}\right.\right.\right.$

Ответ: (4; 4).

Решение 2.

а)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 6(x + y) = 8 + 2x - 3y, \\ 5(y - x) = 5 + 3x + 2y; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и перенеся переменные в левую часть, а числа — в правую.

Первое уравнение:

$6x + 6y = 8 + 2x - 3y$

$6x - 2x + 6y + 3y = 8$

$4x + 9y = 8$

Второе уравнение:

$5y - 5x = 5 + 3x + 2y$

$-5x - 3x + 5y - 2y = 5$

$-8x + 3y = 5$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 4x + 9y = 8 \\ -8x + 3y = 5 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными.

$2 \cdot (4x + 9y) = 2 \cdot 8$

$8x + 18y = 16$

Теперь сложим полученное уравнение с вторым уравнением системы ($-8x + 3y = 5$):

$(8x + 18y) + (-8x + 3y) = 16 + 5$

$21y = 21$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y$ в первое упрощенное уравнение ($4x + 9y = 8$):

$4x + 9(1) = 8$

$4x + 9 = 8$

$4x = -1$

$x = -1/4$

Ответ: $(-1/4; 1)$.

б)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} -2(2x + 1) + 1,5 = 3(y - 2) - 6x, \\ 11,5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x); \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$-4x - 2 + 1,5 = 3y - 6 - 6x$

$-4x - 0,5 = 3y - 6 - 6x$

$-4x + 6x - 3y = -6 + 0,5$

$2x - 3y = -5,5$

Второе уравнение:

$11,5 - 12 + 4x = 2y - 5 + x$

$-0,5 + 4x = 2y - 5 + x$

$4x - x - 2y = -5 + 0,5$

$3x - 2y = -4,5$

Получили систему:

$\begin{cases} 2x - 3y = -5,5 \\ 3x - 2y = -4,5 \end{cases}$

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\begin{cases} 4x - 6y = -11 \\ 6x - 4y = -9 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$\begin{cases} 12x - 18y = -33 \\ -12x + 8y = 18 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(12x - 18y) + (-12x + 8y) = -33 + 18$

$-10y = -15$

$y = 1,5$

Подставим значение $y$ в уравнение $2x - 3y = -5,5$:

$2x - 3(1,5) = -5,5$

$2x - 4,5 = -5,5$

$2x = -1$

$x = -0,5$

Ответ: $(-0,5; 1,5)$.

в)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48, \\ 3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$8x - 4y + 12 - 3x + 6y - 9 = 48$

$5x + 2y + 3 = 48$

$5x + 2y = 45$

Второе уравнение:

$9x - 12y + 9 + 16x - 8y - 36 = 48$

$25x - 20y - 27 = 48$

$25x - 20y = 75$

Разделим второе уравнение на 5: $5x - 4y = 15$.

Получили систему:

$\begin{cases} 5x + 2y = 45 \\ 5x - 4y = 15 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(5x + 2y) - (5x - 4y) = 45 - 15$

$6y = 30$

$y = 5$

Подставим значение $y$ в первое упрощенное уравнение ($5x + 2y = 45$):

$5x + 2(5) = 45$

$5x + 10 = 45$

$5x = 35$

$x = 7$

Ответ: $(7; 5)$.

г)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17), \\ 10(x - y) = 3y + 4(1 - x); \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$84 + 3x - 9y = 36x - 4y - 68$

$3x - 36x - 9y + 4y = -68 - 84$

$-33x - 5y = -152$

$33x + 5y = 152$

Второе уравнение:

$10x - 10y = 3y + 4 - 4x$

$10x + 4x - 10y - 3y = 4$

$14x - 13y = 4$

Получили систему:

$\begin{cases} 33x + 5y = 152 \\ 14x - 13y = 4 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 13, а второе на 5:

$\begin{cases} 13 \cdot (33x + 5y) = 13 \cdot 152 \\ 5 \cdot (14x - 13y) = 5 \cdot 4 \end{cases}$

$\begin{cases} 429x + 65y = 1976 \\ 70x - 65y = 20 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(429x + 65y) + (70x - 65y) = 1976 + 20$

$499x = 1996$

$x = 1996 / 499 = 4$

Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение ($14x - 13y = 4$):

$14(4) - 13y = 4$

$56 - 13y = 4$

$-13y = 4 - 56$

$-13y = -52$

$y = 4$

Ответ: $(4; 4)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.