Номер 1180, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1180, страница 230.

1180. (Для работы в парах.) Подберите какое − либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением 10х + 5у = 1 составило бы систему: а) имеющую одно решение; б) имеющую бесконечно много решений; в) не имеющую решений.
1) Выполните совместно задание а) и решите составленную систему.
2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

а) Чтобы система линейных уравнений имела одно решение, их графики (прямые) должны пересекаться в одной точке. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых различны. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ это условие выражается как непропорциональность коэффициентов при переменных: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Наше исходное уравнение: $10x + 5y = 1$. Здесь $a_1=10, b_1=5$. Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2, b_2$ для второго уравнения так, чтобы $\frac{10}{a_2} \neq \frac{5}{b_2}$.

Возьмем простое уравнение, например, $x - y = 0$. В этом случае $a_2=1, b_2=-1$. Проверим условие: $\frac{10}{1} \neq \frac{5}{-1}$, или $10 \neq -5$. Условие выполняется. Значит, система, составленная из уравнений $10x + 5y = 1$ и $x - y = 0$, будет иметь одно решение.

Теперь, согласно заданию, решим составленную систему:

$\begin{cases} 10x + 5y = 1 \\ x - y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $x = y$. Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$10y + 5y = 1$

$15y = 1$

$y = \frac{1}{15}$

Так как $x = y$, то $x = \frac{1}{15}$.

Единственное решение системы: $(\frac{1}{15}; \frac{1}{15})$.

Ответ: Второе уравнение, например, $x - y = 0$. Решение системы: $x = \frac{1}{15}, y = \frac{1}{15}$.

б) Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны быть эквивалентными, то есть описывать одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты одного уравнения должны быть пропорциональны соответствующим коэффициентам другого. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ это условие выражается как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Для исходного уравнения $10x + 5y = 1$ ($a_1=10, b_1=5, c_1=1$) мы можем получить второе уравнение, умножив его на любое число $k \neq 0$.

Например, умножим исходное уравнение на $k=2$:

$2 \cdot (10x + 5y) = 2 \cdot 1$

$20x + 10y = 2$

Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$, $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$. Все отношения равны, значит система $\begin{cases} 10x + 5y = 1 \\ 20x + 10y = 2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений.

Ответ: Второе уравнение, например, $20x + 10y = 2$.

в) Чтобы система не имела решений, ее уравнения должны описывать параллельные, но не совпадающие прямые. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ это условие выражается как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Возьмем левую часть исходного уравнения $10x + 5y$ и умножим ее на какое-нибудь число $k \neq 0$, например, на $k=2$. Получим $20x + 10y$.

Теперь $a_2=20, b_2=10$. Отношения $\frac{a_1}{a_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ равны.

Нам нужно подобрать свободный член $c_2$ так, чтобы $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$. У нас $c_1=1$, значит $\frac{1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$, то есть $c_2 \neq 2$. Мы можем выбрать любое значение для $c_2$, кроме 2. Например, пусть $c_2 = 3$.

Тогда второе уравнение будет $20x + 10y = 3$.

Система $\begin{cases} 10x + 5y = 1 \\ 20x + 10y = 3 \end{cases}$ не имеет решений. Если мы умножим первое уравнение на 2, получим $20x + 10y = 2$. Это противоречит второму уравнению $20x + 10y = 3$, так как $2 \neq 3$.

Ответ: Второе уравнение, например, $20x + 10y = 3$.