Номер 1183, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 14 - номер 1183, страница 231.

Условие.

1183. При каких значениях с система уравнений

$\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2,\\ 5x + 2y = c\end{array}\right.$

не имеет решений?

Решение 1.

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\mathrm{x}+\frac{1}{5}\mathrm{y}=2 /·10,\\ 5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=\mathrm{c},\end{array}\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=2,\\ 5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=\mathrm{c},\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{y}=2-5\mathrm{x},\\ 2\mathrm{y}=\mathrm{c}-5\mathrm{x}\end{array}\right.$

Система не имеет решений при любых c, кроме c = 2.

Решение 2.

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2, \\ 5x + 2y = c \end{cases} $$

Система линейных уравнений не имеет решений в том случае, если графики уравнений, представляющие собой прямые, параллельны, но не совпадают.

Для того чтобы сравнить уравнения, приведем первое уравнение к виду, похожему на второе. Избавимся от дробей в первом уравнении, умножив обе его части на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5): $$ 10 \cdot \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y\right) = 10 \cdot 2 $$ Выполнив умножение, получаем: $$ 10 \cdot \frac{1}{2}x + 10 \cdot \frac{1}{5}y = 20 $$ $$ 5x + 2y = 20 $$

Теперь исходная система уравнений эквивалентна следующей системе: $$ \begin{cases} 5x + 2y = 20, \\ 5x + 2y = c \end{cases} $$

Левые части обоих уравнений одинаковы ($5x + 2y$). Это означает, что прямые, которые являются графиками этих уравнений, имеют одинаковый угловой коэффициент и, следовательно, параллельны.

Чтобы система не имела решений, эти параллельные прямые не должны совпадать. Это условие выполняется, если правые части уравнений не равны друг другу. $$ c \neq 20 $$

Если бы $c$ было равно 20, то оба уравнения стали бы идентичными ($5x + 2y = 20$), что означает, что прямые совпадают и система имеет бесконечное множество решений. Если же $c \neq 20$, то уравнения противоречат друг другу (выражение $5x + 2y$ не может одновременно равняться 20 и другому числу), следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений при $c \neq 20$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.