Номер 1184, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1184, страница 231.

1184. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 25x - 18y = 75 \\ 5x - 4y = 5 \end{cases}$

Для решения используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-5$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$5x - 4y = 5 \quad|\cdot(-5)$

$-25x + 20y = -25$

Теперь сложим почленно первое уравнение системы и полученное уравнение:

$(25x - 18y) + (-25x + 20y) = 75 + (-25)$

$2y = 50$

$y = 25$

Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:

$5x - 4(25) = 5$

$5x - 100 = 5$

$5x = 105$

$x = 21$

Ответ: $(21; 25)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 35x = 3y + 5 \\ 49x = 4y + 9 \end{cases}$

Сначала приведем уравнения к стандартному виду $ax+by=c$:

$\begin{cases} 35x - 3y = 5 \\ 49x - 4y = 9 \end{cases}$

Используем метод сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на $4$, а второе на $-3$:

$35x - 3y = 5 \quad|\cdot4 \implies 140x - 12y = 20$

$49x - 4y = 9 \quad|\cdot(-3) \implies -147x + 12y = -27$

Сложим полученные уравнения:

$(140x - 12y) + (-147x + 12y) = 20 + (-27)$

$-7x = -7$

$x = 1$

Подставим $x=1$ в первое преобразованное уравнение $35x - 3y = 5$:

$35(1) - 3y = 5$

$35 - 3y = 5$

$-3y = 5 - 35$

$-3y = -30$

$y = 10$

Ответ: $(1; 10)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 8y - 5z = 23 \\ 3y - 2z = 6 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Чтобы исключить переменную $z$, умножим первое уравнение на $2$, а второе на $-5$:

$8y - 5z = 23 \quad|\cdot2 \implies 16y - 10z = 46$

$3y - 2z = 6 \quad|\cdot(-5) \implies -15y + 10z = -30$

Сложим полученные уравнения:

$(16y - 10z) + (-15y + 10z) = 46 + (-30)$

$y = 16$

Подставим найденное значение $y=16$ во второе исходное уравнение:

$3(16) - 2z = 6$

$48 - 2z = 6$

$-2z = 6 - 48$

$-2z = -42$

$z = 21$

Ответ: $y=16, z=21$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 13x - 15y = -48 \\ 2x + y = 29 \end{cases}$

Эту систему удобно решить методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 29 - 2x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$13x - 15(29 - 2x) = -48$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$13x - 435 + 30x = -48$

$43x = 435 - 48$

$43x = 387$

$x = \frac{387}{43}$

$x = 9$

Теперь найдем $y$, подставив $x=9$ в выражение $y = 29 - 2x$:

$y = 29 - 2(9)$

$y = 29 - 18$

$y = 11$

Ответ: $(9; 11)$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7x + 4y = 74 \\ 3x + 2y = 32 \end{cases}$

Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$3x + 2y = 32 \quad|\cdot(-2)$

$-6x - 4y = -64$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(7x + 4y) + (-6x - 4y) = 74 + (-64)$

$x = 10$

Подставим $x=10$ во второе исходное уравнение:

$3(10) + 2y = 32$

$30 + 2y = 32$

$2y = 2$

$y = 1$

Ответ: $(10; 1)$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 11u + 15v = 1,9 \\ -3u + 5v = 1,3 \end{cases}$

Применим метод сложения. Умножим второе уравнение на $-3$:

$-3u + 5v = 1,3 \quad|\cdot(-3)$

$9u - 15v = -3,9$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(11u + 15v) + (9u - 15v) = 1,9 + (-3,9)$

$20u = -2$

$u = -\frac{2}{20} = -0,1$

Подставим найденное значение $u$ во второе исходное уравнение:

$-3(-0,1) + 5v = 1,3$

$0,3 + 5v = 1,3$

$5v = 1,3 - 0,3$

$5v = 1$

$v = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: $u=-0,1, v=0,2$.