Страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1181. Укажите какие−нибудь значение k, при котором система имеет единственное решение.

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x} + \mathrm{y} = 7,\\ \mathrm{y} - \mathrm{kx} = 3\end{array}\right.$

имеет единственное решение.

Система двух линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Это условие выполняется, если угловые коэффициенты прямых не равны.

Для нахождения угловых коэффициентов приведем оба уравнения к стандартному виду $y = mx + b$, где $m$ — угловой коэффициент.

Первое уравнение: $2x + y = 7$. Выразим $y$: $y = -2x + 7$. Угловой коэффициент первой прямой $m_1 = -2$.

Второе уравнение: $y - kx = 3$. Выразим $y$: $y = kx + 3$. Угловой коэффициент второй прямой $m_2 = k$.

Для того чтобы решение было единственным, должно выполняться условие $m_1 \neq m_2$. Подставляя значения, получаем: $-2 \neq k$.

Таким образом, система имеет единственное решение при любом значении $k$, кроме -2. В задании просят указать любое такое значение. Возьмем, к примеру, $k = 1$.

Ответ: 1 (или любое другое число, не равное -2).

1182. При каком значении с система уравнений

$\left\{\begin{array}{c}3x - y = 10,\\ 9x - 3y = c\end{array}\right.$

имеет бесконечно много решений?

Для того чтобы система линейных уравнений имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы уравнения системы были эквивалентны, то есть одно уравнение можно было получить из другого путем умножения на некоторое число. Графически это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, совпадают.

Рассмотрим данную систему уравнений:
$ \begin{cases} 3x - y = 10 \\ 9x - 3y = c \end{cases} $

Можно заметить, что левая часть второго уравнения, $9x - 3y$, ровно в 3 раза больше левой части первого уравнения, $3x - y$:
$3 \cdot (3x - y) = 9x - 3y$

Чтобы второе уравнение было следствием первого (и, таким образом, система имела бесконечно много решений), необходимо, чтобы и правая часть второго уравнения была в 3 раза больше правой части первого.
Умножим обе части первого уравнения на 3:
$3 \cdot (3x - y) = 3 \cdot 10$
$9x - 3y = 30$

Теперь сравним полученное уравнение $9x - 3y = 30$ со вторым уравнением системы $9x - 3y = c$.
Чтобы эти уравнения были идентичны, их правые части должны быть равны.
Следовательно, $c = 30$.

При значении $c = 30$ система будет иметь бесконечно много решений.
Ответ: 30

1183. При каких значениях с система уравнений

$\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2,\\ 5x + 2y = c\end{array}\right.$

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2, \\ 5x + 2y = c \end{cases} $$

Система линейных уравнений не имеет решений в том случае, если графики уравнений, представляющие собой прямые, параллельны, но не совпадают.

Для того чтобы сравнить уравнения, приведем первое уравнение к виду, похожему на второе. Избавимся от дробей в первом уравнении, умножив обе его части на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5): $$ 10 \cdot \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y\right) = 10 \cdot 2 $$ Выполнив умножение, получаем: $$ 10 \cdot \frac{1}{2}x + 10 \cdot \frac{1}{5}y = 20 $$ $$ 5x + 2y = 20 $$

Теперь исходная система уравнений эквивалентна следующей системе: $$ \begin{cases} 5x + 2y = 20, \\ 5x + 2y = c \end{cases} $$

Левые части обоих уравнений одинаковы ($5x + 2y$). Это означает, что прямые, которые являются графиками этих уравнений, имеют одинаковый угловой коэффициент и, следовательно, параллельны.

Чтобы система не имела решений, эти параллельные прямые не должны совпадать. Это условие выполняется, если правые части уравнений не равны друг другу. $$ c \neq 20 $$

Если бы $c$ было равно 20, то оба уравнения стали бы идентичными ($5x + 2y = 20$), что означает, что прямые совпадают и система имеет бесконечное множество решений. Если же $c \neq 20$, то уравнения противоречат друг другу (выражение $5x + 2y$ не может одновременно равняться 20 и другому числу), следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений при $c \neq 20$.

1184. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 25x - 18y = 75 \\ 5x - 4y = 5 \end{cases}$

Для решения используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-5$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$5x - 4y = 5 \quad|\cdot(-5)$

$-25x + 20y = -25$

Теперь сложим почленно первое уравнение системы и полученное уравнение:

$(25x - 18y) + (-25x + 20y) = 75 + (-25)$

$2y = 50$

$y = 25$

Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:

$5x - 4(25) = 5$

$5x - 100 = 5$

$5x = 105$

$x = 21$

Ответ: $(21; 25)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 35x = 3y + 5 \\ 49x = 4y + 9 \end{cases}$

Сначала приведем уравнения к стандартному виду $ax+by=c$:

$\begin{cases} 35x - 3y = 5 \\ 49x - 4y = 9 \end{cases}$

Используем метод сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на $4$, а второе на $-3$:

$35x - 3y = 5 \quad|\cdot4 \implies 140x - 12y = 20$

$49x - 4y = 9 \quad|\cdot(-3) \implies -147x + 12y = -27$

Сложим полученные уравнения:

$(140x - 12y) + (-147x + 12y) = 20 + (-27)$

$-7x = -7$

$x = 1$

Подставим $x=1$ в первое преобразованное уравнение $35x - 3y = 5$:

$35(1) - 3y = 5$

$35 - 3y = 5$

$-3y = 5 - 35$

$-3y = -30$

$y = 10$

Ответ: $(1; 10)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 8y - 5z = 23 \\ 3y - 2z = 6 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Чтобы исключить переменную $z$, умножим первое уравнение на $2$, а второе на $-5$:

$8y - 5z = 23 \quad|\cdot2 \implies 16y - 10z = 46$

$3y - 2z = 6 \quad|\cdot(-5) \implies -15y + 10z = -30$

Сложим полученные уравнения:

$(16y - 10z) + (-15y + 10z) = 46 + (-30)$

$y = 16$

Подставим найденное значение $y=16$ во второе исходное уравнение:

$3(16) - 2z = 6$

$48 - 2z = 6$

$-2z = 6 - 48$

$-2z = -42$

$z = 21$

Ответ: $y=16, z=21$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 13x - 15y = -48 \\ 2x + y = 29 \end{cases}$

Эту систему удобно решить методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 29 - 2x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$13x - 15(29 - 2x) = -48$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$13x - 435 + 30x = -48$

$43x = 435 - 48$

$43x = 387$

$x = \frac{387}{43}$

$x = 9$

Теперь найдем $y$, подставив $x=9$ в выражение $y = 29 - 2x$:

$y = 29 - 2(9)$

$y = 29 - 18$

$y = 11$

Ответ: $(9; 11)$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7x + 4y = 74 \\ 3x + 2y = 32 \end{cases}$

Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$3x + 2y = 32 \quad|\cdot(-2)$

$-6x - 4y = -64$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(7x + 4y) + (-6x - 4y) = 74 + (-64)$

$x = 10$

Подставим $x=10$ во второе исходное уравнение:

$3(10) + 2y = 32$

$30 + 2y = 32$

$2y = 2$

$y = 1$

Ответ: $(10; 1)$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 11u + 15v = 1,9 \\ -3u + 5v = 1,3 \end{cases}$

Применим метод сложения. Умножим второе уравнение на $-3$:

$-3u + 5v = 1,3 \quad|\cdot(-3)$

$9u - 15v = -3,9$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(11u + 15v) + (9u - 15v) = 1,9 + (-3,9)$

$20u = -2$

$u = -\frac{2}{20} = -0,1$

Подставим найденное значение $u$ во второе исходное уравнение:

$-3(-0,1) + 5v = 1,3$

$0,3 + 5v = 1,3$

$5v = 1,3 - 0,3$

$5v = 1$

$v = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: $u=-0,1, v=0,2$.

1185. Найдите решение системы уравнений:

а)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 6(x + y) = 8 + 2x - 3y, \\ 5(y - x) = 5 + 3x + 2y; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и перенеся переменные в левую часть, а числа — в правую.

Первое уравнение:

$6x + 6y = 8 + 2x - 3y$

$6x - 2x + 6y + 3y = 8$

$4x + 9y = 8$

Второе уравнение:

$5y - 5x = 5 + 3x + 2y$

$-5x - 3x + 5y - 2y = 5$

$-8x + 3y = 5$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 4x + 9y = 8 \\ -8x + 3y = 5 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными.

$2 \cdot (4x + 9y) = 2 \cdot 8$

$8x + 18y = 16$

Теперь сложим полученное уравнение с вторым уравнением системы ($-8x + 3y = 5$):

$(8x + 18y) + (-8x + 3y) = 16 + 5$

$21y = 21$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y$ в первое упрощенное уравнение ($4x + 9y = 8$):

$4x + 9(1) = 8$

$4x + 9 = 8$

$4x = -1$

$x = -1/4$

Ответ: $(-1/4; 1)$.

б)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} -2(2x + 1) + 1,5 = 3(y - 2) - 6x, \\ 11,5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x); \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$-4x - 2 + 1,5 = 3y - 6 - 6x$

$-4x - 0,5 = 3y - 6 - 6x$

$-4x + 6x - 3y = -6 + 0,5$

$2x - 3y = -5,5$

Второе уравнение:

$11,5 - 12 + 4x = 2y - 5 + x$

$-0,5 + 4x = 2y - 5 + x$

$4x - x - 2y = -5 + 0,5$

$3x - 2y = -4,5$

Получили систему:

$\begin{cases} 2x - 3y = -5,5 \\ 3x - 2y = -4,5 \end{cases}$

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\begin{cases} 4x - 6y = -11 \\ 6x - 4y = -9 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$\begin{cases} 12x - 18y = -33 \\ -12x + 8y = 18 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(12x - 18y) + (-12x + 8y) = -33 + 18$

$-10y = -15$

$y = 1,5$

Подставим значение $y$ в уравнение $2x - 3y = -5,5$:

$2x - 3(1,5) = -5,5$

$2x - 4,5 = -5,5$

$2x = -1$

$x = -0,5$

Ответ: $(-0,5; 1,5)$.

в)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48, \\ 3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$8x - 4y + 12 - 3x + 6y - 9 = 48$

$5x + 2y + 3 = 48$

$5x + 2y = 45$

Второе уравнение:

$9x - 12y + 9 + 16x - 8y - 36 = 48$

$25x - 20y - 27 = 48$

$25x - 20y = 75$

Разделим второе уравнение на 5: $5x - 4y = 15$.

Получили систему:

$\begin{cases} 5x + 2y = 45 \\ 5x - 4y = 15 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(5x + 2y) - (5x - 4y) = 45 - 15$

$6y = 30$

$y = 5$

Подставим значение $y$ в первое упрощенное уравнение ($5x + 2y = 45$):

$5x + 2(5) = 45$

$5x + 10 = 45$

$5x = 35$

$x = 7$

Ответ: $(7; 5)$.

г)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17), \\ 10(x - y) = 3y + 4(1 - x); \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$84 + 3x - 9y = 36x - 4y - 68$

$3x - 36x - 9y + 4y = -68 - 84$

$-33x - 5y = -152$

$33x + 5y = 152$

Второе уравнение:

$10x - 10y = 3y + 4 - 4x$

$10x + 4x - 10y - 3y = 4$

$14x - 13y = 4$

Получили систему:

$\begin{cases} 33x + 5y = 152 \\ 14x - 13y = 4 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 13, а второе на 5:

$\begin{cases} 13 \cdot (33x + 5y) = 13 \cdot 152 \\ 5 \cdot (14x - 13y) = 5 \cdot 4 \end{cases}$

$\begin{cases} 429x + 65y = 1976 \\ 70x - 65y = 20 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(429x + 65y) + (70x - 65y) = 1976 + 20$

$499x = 1996$

$x = 1996 / 499 = 4$

Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение ($14x - 13y = 4$):

$14(4) - 13y = 4$

$56 - 13y = 4$

$-13y = 4 - 56$

$-13y = -52$

$y = 4$

Ответ: $(4; 4)$.