Страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1139. (Задача−исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?
1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
2) Составьте систему уравнений и решите её.
3) Проверьте правильность полученного ответа.

1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.

Для решения задачи введем следующие переменные:

– Пусть $x$ – это число, на которое нужно уменьшить 100. Это искомая величина.

– Тогда полученная разность будет равна $100 - x$. Обозначим эту разность буквой $N$, то есть $N = 100 - x$.

– По условию, при делении $N$ на 5 остаток равен 1. Обозначим частное от этого деления (первое частное) как $q_1$. Это можно записать в виде формулы деления с остатком: $N = 5 \cdot q_1 + 1$.

– Аналогично, при делении $N$ на 7 остаток равен 1. Обозначим частное от этого деления (второе частное) как $q_2$. Это можно записать как: $N = 7 \cdot q_2 + 1$.

– В задаче сказано, что первое частное на 2 больше второго, следовательно: $q_1 = q_2 + 2$.

Ответ: Удобно ввести следующие обозначения: $x$ – искомое число; $N = 100 - x$ – полученная разность; $q_1$ – частное при делении $N$ на 5; $q_2$ – частное при делении $N$ на 7.

2) Составьте систему уравнений и решите её.

На основе введенных обозначений мы имеем следующие соотношения:

1. $N = 5 \cdot q_1 + 1$

2. $N = 7 \cdot q_2 + 1$

3. $q_1 = q_2 + 2$

Поскольку левые части первого и второго уравнений равны ($N$), мы можем приравнять их правые части:

$5 \cdot q_1 + 1 = 7 \cdot q_2 + 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы упростить его:

$5 \cdot q_1 = 7 \cdot q_2$

Теперь мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными, $q_1$ и $q_2$:

$\begin{cases} 5 \cdot q_1 = 7 \cdot q_2 \\ q_1 = q_2 + 2 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $q_1$ из второго уравнения в первое:

$5 \cdot (q_2 + 2) = 7 \cdot q_2$

Раскроем скобки в левой части:

$5 \cdot q_2 + 10 = 7 \cdot q_2$

Соберем слагаемые с $q_2$ в правой части уравнения:

$10 = 7 \cdot q_2 - 5 \cdot q_2$

$10 = 2 \cdot q_2$

Теперь найдем $q_2$:

$q_2 = \frac{10}{2} = 5$

Зная $q_2$, найдем $q_1$ из уравнения $q_1 = q_2 + 2$:

$q_1 = 5 + 2 = 7$

Мы нашли оба частных. Теперь можно найти число $N$, используя любое из исходных уравнений:

Через $q_1$: $N = 5 \cdot 7 + 1 = 35 + 1 = 36$

Через $q_2$: $N = 7 \cdot 5 + 1 = 35 + 1 = 36$

Результаты совпадают, значит, $N=36$.

Наконец, найдем искомое число $x$ из соотношения $N = 100 - x$:

$36 = 100 - x$

$x = 100 - 36$

$x = 64$

Ответ: Система уравнений составлена и решена. Получено, что число 100 надо уменьшить на 64.

3) Проверьте правильность полученного ответа.

Выполним проверку. Мы выяснили, что число 100 нужно уменьшить на 64. Найдем полученную разность:

$100 - 64 = 36$

Теперь проверим, выполняются ли для числа 36 все условия, указанные в задаче.

1. Деление на 5:
$36 \div 5 = 7$ с остатком $1$ ($36 = 5 \cdot 7 + 1$).
Остаток равен 1. Первое частное $q_1 = 7$. Условие выполнено.

2. Деление на 7:
$36 \div 7 = 5$ с остатком $1$ ($36 = 7 \cdot 5 + 1$).
Остаток равен 1. Второе частное $q_2 = 5$. Условие выполнено.

3. Сравнение частных:
Первое частное $q_1 = 7$, второе частное $q_2 = 5$.
Разница между ними: $q_1 - q_2 = 7 - 5 = 2$.
Первое частное действительно на 2 больше второго. Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены, следовательно, ответ найден верно.

Ответ: Проверка подтверждает, что искомое число, на которое нужно уменьшить 100, равно 64.

1140. Разложите на множители:
a) 0,064m³ + 1; б) 0,027х³ − y³; в) р⁶ + 8; г) 27 − m⁶.

а) Для разложения на множители выражения $0,064m^3 + 1$ используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим выражение в виде суммы кубов:

$0,064m^3 + 1 = (0,4m)^3 + 1^3$.

В данном случае $a = 0,4m$ и $b = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(0,4m + 1)((0,4m)^2 - 0,4m \cdot 1 + 1^2) = (0,4m + 1)(0,16m^2 - 0,4m + 1)$.

Ответ: $(0,4m + 1)(0,16m^2 - 0,4m + 1)$.

б) Для разложения на множители выражения $0,027x^3 - y^3$ используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим выражение в виде разности кубов:

$0,027x^3 - y^3 = (0,3x)^3 - y^3$.

В данном случае $a = 0,3x$ и $b = y$.

Подставим эти значения в формулу:

$(0,3x - y)((0,3x)^2 + 0,3x \cdot y + y^2) = (0,3x - y)(0,09x^2 + 0,3xy + y^2)$.

Ответ: $(0,3x - y)(0,09x^2 + 0,3xy + y^2)$.

в) Для разложения на множители выражения $p^6 + 8$ используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим выражение в виде суммы кубов. Для этого заметим, что $p^6 = (p^2)^3$ и $8 = 2^3$.

$p^6 + 8 = (p^2)^3 + 2^3$.

В данном случае $a = p^2$ и $b = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$(p^2 + 2)((p^2)^2 - p^2 \cdot 2 + 2^2) = (p^2 + 2)(p^4 - 2p^2 + 4)$.

Ответ: $(p^2 + 2)(p^4 - 2p^2 + 4)$.

г) Для разложения на множители выражения $27 - m^6$ используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим выражение в виде разности кубов. Для этого заметим, что $27 = 3^3$ и $m^6 = (m^2)^3$.

$27 - m^6 = 3^3 - (m^2)^3$.

В данном случае $a = 3$ и $b = m^2$.

Подставим эти значения в формулу:

$(3 - m^2)(3^2 + 3 \cdot m^2 + (m^2)^2) = (3 - m^2)(9 + 3m^2 + m^4)$.

Ответ: $(3 - m^2)(9 + 3m^2 + m^4)$.

1141. Докажите тождество

${({\mathrm{х}}^3 - {\mathrm{у}}^3)}^2 + 2{\mathrm{х}}^3{\mathrm{у}}^3 =({\mathrm{х}}^2 + {\mathrm{у}}^2)({\mathrm{х}}^4+ {\mathrm{у}}^4- {\mathrm{х}}^2{\mathrm{у}}^2)$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, чтобы показать, что они равны одному и тому же выражению.

1. Преобразование левой части.

Рассмотрим левую часть равенства: $(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3$.

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где в нашем случае $a = x^3$ и $b = y^3$.

$(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = ((x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot y^3 + (y^3)^2) + 2x^3y^3$

Раскрыв скобки и степени, получаем:

$x^6 - 2x^3y^3 + y^6 + 2x^3y^3$

Сократим подобные слагаемые $-2x^3y^3$ и $2x^3y^3$:

$x^6 + y^6$

Таким образом, левая часть тождества равна $x^6 + y^6$.

2. Преобразование правой части.

Рассмотрим правую часть равенства: $(x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Чтобы увидеть это, сделаем замену: пусть $a = x^2$ и $b = y^2$. Тогда $a^2 = (x^2)^2 = x^4$, $b^2 = (y^2)^2 = y^4$ и $ab = x^2y^2$.

Подставив эти значения в правую часть нашего тождества, получим выражение вида $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

Применив формулу суммы кубов, сворачиваем это выражение:

$(x^2)^3 + (y^2)^3 = x^6 + y^6$

Таким образом, правая часть тождества также равна $x^6 + y^6$.

Заключение.

Мы показали, что левая и правая части исходного равенства приводятся к одному и тому же выражению $x^6 + y^6$. Поскольку $x^6 + y^6 = x^6 + y^6$, тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано, так как обе его части тождественно равны выражению $x^6 + y^6$.

1142. В каких координатных четвертях расположен график уравнения:
а) 2х + 5у = 12; б) 3х − 4у = 10?

a) Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график уравнения $2x + 5y = 12$, найдем точки пересечения этой прямой с осями координат.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$). В этой точке координата $x$ равна нулю:
$2 \cdot 0 + 5y = 12$
$5y = 12$
$y = \frac{12}{5} = 2.4$
Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; 2.4)$. Эта точка лежит на положительной полуоси $y$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$). В этой точке координата $y$ равна нулю:
$2x + 5 \cdot 0 = 12$
$2x = 12$
$x = 6$
Таким образом, точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(6; 0)$. Эта точка лежит на положительной полуоси $x$.
График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0; 2.4)$ и $(6; 0)$. Так как одна точка находится на положительной полуоси $y$, а другая — на положительной полуоси $x$, прямая пересекает I, II и IV координатные четверти. Она не проходит через III четверть, где обе координаты отрицательны.
Ответ: График уравнения расположен в I, II и IV координатных четвертях.

б) Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график уравнения $3x - 4y = 10$, найдем точки пересечения этой прямой с осями координат.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), где $x=0$:
$3 \cdot 0 - 4y = 10$
$-4y = 10$
$y = -\frac{10}{4} = -2.5$
Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; -2.5)$. Эта точка лежит на отрицательной полуоси $y$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$), где $y=0$:
$3x - 4 \cdot 0 = 10$
$3x = 10$
$x = \frac{10}{3}$
Таким образом, точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(\frac{10}{3}; 0)$. Эта точка лежит на положительной полуоси $x$.
График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0; -2.5)$ и $(\frac{10}{3}; 0)$. Так как одна точка находится на отрицательной полуоси $y$, а другая — на положительной полуоси $x$, прямая пересекает I, III и IV координатные четверти. Она не проходит через II четверть, где $x$ отрицателен, а $y$ положителен.
Ответ: График уравнения расположен в I, III и IV координатных четвертях.

1143. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой у = −х² − 6х − 11, расположены в нижней полуплоскости.

Для того чтобы доказать, что все точки графика функции $y = -x^2 - 6x - 11$ расположены в нижней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y$ является отрицательным, то есть $y < 0$.

Для доказательства преобразуем данное квадратичное выражение, выделив в нем полный квадрат.

Исходная функция: $y = -x^2 - 6x - 11$.

1. Вынесем знак минус за скобки, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $y = -(x^2 + 6x + 11)$.

2. Теперь в выражении $x^2 + 6x + 11$ выделим полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = 6x$, откуда $b=3$. Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$. Представим число $11$ в скобках как $9 + 2$: $y = -( (x^2 + 6x + 9) + 2 )$.

3. Выражение $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом $(x+3)^2$. Подставим это в нашу формулу: $y = -( (x+3)^2 + 2 )$.

4. Наконец, раскроем внешние скобки, поменяв знаки у слагаемых внутри: $y = -(x+3)^2 - 2$.

Теперь проанализируем полученное выражение $y = -(x+3)^2 - 2$.

- Выражение $(x+3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x+3)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

- Соответственно, выражение $-(x+3)^2$ всегда неположительно, то есть $-(x+3)^2 \le 0$. Его максимальное значение равно 0 и достигается при $x = -3$.

- Если из неположительного числа (максимум которого 0) вычесть 2, результат всегда будет строго отрицательным и не будет превышать $-2$. $y = -(x+3)^2 - 2 \le 0 - 2 = -2$.

Таким образом, мы доказали, что для любого действительного числа $x$ значение функции $y$ не превышает $-2$. Так как $-2 < 0$, то значение $y$ всегда отрицательно. Это означает, что все точки графика функции расположены ниже оси абсцисс ($y=0$), то есть находятся в нижней полуплоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. После преобразования функции к виду $y = -(x+3)^2 - 2$ становится очевидно, что ее максимальное значение равно $-2$. Следовательно, для любого $x$ значение $y$ является отрицательным, и все точки графика функции лежат в нижней полуплоскости.

Метод подстановки для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными — это алгоритм, который позволяет, выразив одну переменную через другую из одного уравнения, подставить это выражение во второе уравнение. В результате получается одно уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример:

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + y = 10 \end{cases} $$

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую из одного из уравнений.

Удобнее всего выражать ту переменную, коэффициент при которой равен 1 или -1, чтобы избежать появления дробей. В данной системе в первом уравнении коэффициент при $x$ равен 1, а во втором уравнении коэффициент при $y$ равен 1. Выразим переменную $x$ из первого уравнения: $x - 2y = 1 \implies x = 1 + 2y$

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение.

Теперь подставим полученное выражение $(1 + 2y)$ вместо переменной $x$ во второе уравнение системы $(3x + y = 10)$: $3(1 + 2y) + y = 10$

Шаг 3: Решить полученное уравнение с одной переменной.

Мы получили линейное уравнение, в котором есть только переменная $y$. Решим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $3 \cdot 1 + 3 \cdot 2y + y = 10$
$3 + 6y + y = 10$
$3 + 7y = 10$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения: $7y = 10 - 3$
$7y = 7$
$y = \frac{7}{7}$
$y = 1$

Шаг 4: Найти значение второй переменной.

Мы нашли значение $y = 1$. Теперь вернемся к выражению, полученному на первом шаге ($x = 1 + 2y$), и подставим в него найденное значение $y$, чтобы найти $x$: $x = 1 + 2 \cdot (1)$
$x = 1 + 2$
$x = 3$

Шаг 5: Записать ответ и выполнить проверку (рекомендуется).

Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(3; 1)$. Для уверенности в правильности решения подставим найденные значения в оба исходных уравнения системы.

Проверка: $$ \begin{cases} 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1 \\ 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 = 1 \\ 10 = 10 \end{cases} $$ Оба равенства верны, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(3; 1)$.

Метод сложения для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы алгебраически сложить уравнения системы с целью исключить одну из переменных. Это делается путем преобразования одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. В результате получается одно уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере. Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\3x - y = 5\end{cases}$$

Шаг 1. Подготовка уравнений к сложению

Наша задача — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных, например, при $y$, стали противоположными числами. В первом уравнении коэффициент при $y$ равен $3$, а во втором $-1$. Чтобы получить противоположные коэффициенты ($3$ и $-3$), умножим все члены второго уравнения на $3$.

$(3x - y) \cdot 3 = 5 \cdot 3$

$9x - 3y = 15$

Теперь система имеет вид, удобный для сложения:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\9x - 3y = 15\end{cases}$$

Шаг 2. Сложение уравнений

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы. Переменная $y$ при этом будет исключена.

$(2x + 3y) + (9x - 3y) = 7 + 15$

Приводим подобные слагаемые:

$11x = 22$

Шаг 3. Решение полученного уравнения с одной переменной

Решим простое уравнение относительно $x$:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Шаг 4. Нахождение второй переменной

Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из изначальных уравнений системы, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение $3x - y = 5$, так как оно проще.

$3(2) - y = 5$

$6 - y = 5$

$-y = 5 - 6$

$-y = -1$

$y = 1$

Таким образом, мы нашли решение системы: пара чисел $(2; 1)$.

Шаг 5. Проверка решения

Для уверенности подставим найденные значения $x=2$ и $y=1$ в оба исходных уравнения.

Первое уравнение: $2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$. Равенство $7 = 7$ верно.

Второе уравнение: $3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$. Равенство $5 = 5$ верно.

Проверка подтверждает, что решение найдено правильно.

Ответ: $(2; 1)$