Страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1119. Основание равнобедренного треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 43 см.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны, значит, их длины составляют по $x$ см.

По условию задачи, основание на 7 см больше боковой стороны. Следовательно, длина основания равна $(x + 7)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр равен 43 см. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму длин сторон к периметру:

$x + x + (x + 7) = 43$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$:

$3x + 7 = 43$

Перенесем 7 в правую часть уравнения:

$3x = 43 - 7$

$3x = 36$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Таким образом, длина боковой стороны треугольника равна 12 см.

Ответ: 12 см.

1120. Старинная задача. Ослица и мул шли вместе, нагруженные равными по весу мешками. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Что ты жалуешься, − сказал мул, − если ты дашь мне твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я тебе дам один мешок, то наши грузы сравняются». Сколько мешков нёс каждый?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим количество мешков, которое несла ослица, через $x$, а количество мешков, которое нёс мул, — через $y$.

Исходя из первого утверждения мула «если ты дашь мне твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей», мы можем составить первое уравнение. Если ослица отдаст один мешок, у неё останется $x - 1$ мешков, а у мула станет $y + 1$ мешков. Ноша мула станет вдвое больше ноши ослицы:

$y + 1 = 2(x - 1)$

Из второго утверждения «а если я тебе дам один мешок, то наши грузы сравняются» составим второе уравнение. Если мул отдаст один мешок, у него останется $y - 1$ мешков, а у ослицы станет $x + 1$ мешков. Их грузы станут равны:

$y - 1 = x + 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y + 1 = 2(x - 1) \\ y - 1 = x + 1 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = x + 1 + 1$

$y = x + 2$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(x + 2) + 1 = 2(x - 1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x + 3 = 2x - 2$

$3 + 2 = 2x - x$

$x = 5$

Итак, ослица несла 5 мешков.

Теперь найдём, сколько мешков нёс мул, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = x + 2 = 5 + 2 = 7$

Мул нёс 7 мешков.

Проверка:

1. Исходные данные: у ослицы 5 мешков, у мула 7 мешков.
2. Ослица отдает мешок мулу: у ослицы становится $5-1=4$ мешка, у мула $7+1=8$ мешков. $8$ вдвое больше, чем $4$. Условие выполняется.
3. Мул отдает мешок ослице: у мула становится $7-1=6$ мешков, у ослицы $5+1=6$ мешков. Их ноши равны. Условие выполняется.

Ответ: ослица несла 5 мешков, а мул — 7 мешков.

1121. Старинная задача. Если А получит от В 100 рупий, то станет вдвое его богаче, а если А даст В 10 рупий, то В станет вшестеро богаче. Сколько денег у каждого?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $A$ — это количество денег у первого человека (А), а $B$ — количество денег у второго человека (В).

Исходя из первого условия задачи, мы можем составить первое уравнение. Если А получит от В 100 рупий, у А станет $A + 100$ рупий, а у В останется $B - 100$ рупий. При этом А станет вдвое богаче В.

Запишем это в виде уравнения:

$A + 100 = 2(B - 100)$

Теперь рассмотрим второе условие. Если А даст В 10 рупий, у А останется $A - 10$ рупий, а у В станет $B + 10$ рупий. В этом случае В станет вшестеро богаче А.

Запишем второе уравнение:

$B + 10 = 6(A - 10)$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} A + 100 = 2(B - 100) \\ B + 10 = 6(A - 10) \end{cases}$

Упростим каждое уравнение:

1) $A + 100 = 2B - 200 \implies A - 2B = -300$

2) $B + 10 = 6A - 60 \implies -6A + B = -70$

Теперь решим эту систему. Выразим $B$ из второго уравнения:

$B = 6A - 70$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$A - 2(6A - 70) = -300$

$A - 12A + 140 = -300$

$-11A = -300 - 140$

$-11A = -440$

$A = \frac{-440}{-11} = 40$

Мы нашли количество денег у А. Теперь найдем количество денег у В, подставив значение $A$ в выражение для $B$:

$B = 6 \cdot 40 - 70 = 240 - 70 = 170$

Таким образом, у А было 40 рупий, а у В было 170 рупий.

Проверим решение:

1) Если А получит 100 рупий от В: у А станет $40 + 100 = 140$, у В останется $170 - 100 = 70$. $140$ ровно вдвое больше $70$. Условие выполняется.

2) Если А даст 10 рупий В: у А останется $40 - 10 = 30$, у В станет $170 + 10 = 180$. $180$ ровно вшестеро больше $30$. Условие выполняется.

Ответ: у А было 40 рупий, а у В — 170 рупий.

1122. Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад − в 5 раз?

Пусть $b$ — это текущий возраст брата, а $s$ — текущий возраст сестры.

Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений.

Первое условие: 2 года назад брат был в 2 раза старше сестры. Возраст брата 2 года назад был $b - 2$, а возраст сестры — $s - 2$. Это дает нам первое уравнение:
$b - 2 = 2 \cdot (s - 2)$

Второе условие: 8 лет назад брат был в 5 раз старше сестры. Возраст брата 8 лет назад был $b - 8$, а возраст сестры — $s - 8$. Это дает нам второе уравнение:
$b - 8 = 5 \cdot (s - 8)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} b - 2 = 2(s - 2) \\ b - 8 = 5(s - 8) \end{cases} $

Упростим каждое уравнение. Сначала раскроем скобки: $ \begin{cases} b - 2 = 2s - 4 \\ b - 8 = 5s - 40 \end{cases} $

Теперь выразим переменную $b$ из обоих уравнений: $ \begin{cases} b = 2s - 2 \\ b = 5s - 32 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны ($b=b$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти возраст сестры $s$:
$2s - 2 = 5s - 32$
Перенесем слагаемые с $s$ в одну сторону, а числа — в другую:
$32 - 2 = 5s - 2s$
$30 = 3s$
$s = \frac{30}{3}$
$s = 10$

Таким образом, текущий возраст сестры — 10 лет.

Теперь, зная возраст сестры, найдем возраст брата, подставив значение $s=10$ в любое из выражений для $b$. Возьмем первое: $b = 2s - 2$.
$b = 2 \cdot 10 - 2$
$b = 20 - 2$
$b = 18$

Следовательно, текущий возраст брата — 18 лет.

Проверка:
1. 2 года назад: брату было $18 - 2 = 16$ лет, сестре $10 - 2 = 8$ лет. Соотношение возрастов $16 / 8 = 2$. Верно.
2. 8 лет назад: брату было $18 - 8 = 10$ лет, сестре $10 - 8 = 2$ года. Соотношение возрастов $10 / 2 = 5$. Верно.

Ответ: брату 18 лет, сестре 10 лет.

1123. Два автомата изготавливают детали. Число деталей, изготовленных первым автоматом за 3 ч и вторым за 2 ч, составляет 720 штук. Четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 ч, составила 150 штук. Сколько деталей изготовлял каждый автомат за час?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество деталей, которое изготавливает первый автомат за один час (его производительность), а $y$ — производительность второго автомата (деталей в час).

Из первого условия известно, что первый автомат за 3 часа и второй за 2 часа вместе изготовили 720 деталей. Мы можем составить первое уравнение:
$3x + 2y = 720$

Из второго условия известно, что четвертая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 часа, составила 150 штук. Это означает, что общее количество деталей, произведенных обоими автоматами за 2 часа, равно $150 \times 4 = 600$ штук.

За 2 часа первый автомат изготовит $2x$ деталей, а второй — $2y$ деталей. Составим второе уравнение:
$2x + 2y = 600$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 3x + 2y = 720 \\ 2x + 2y = 600 \end{cases}$

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить переменную $y$:
$(3x + 2y) - (2x + 2y) = 720 - 600$
$3x - 2x = 120$
$x = 120$

Таким образом, производительность первого автомата составляет 120 деталей в час.

Теперь, зная $x$, мы можем найти $y$, подставив значение $x$ в любое из уравнений. Используем второе уравнение, так как оно проще:
$2(120) + 2y = 600$
$240 + 2y = 600$
$2y = 600 - 240$
$2y = 360$
$y = \frac{360}{2}$
$y = 180$

Следовательно, производительность второго автомата составляет 180 деталей в час.

Ответ: первый автомат изготовлял 120 деталей за час, а второй — 180 деталей за час.

1124. За 4 ч езды на автомашине и 7 ч езды на поезде туристы проехали 640 км. Какова скорость поезда, если она на 5 км/ч больше скорости автомашины?

Пусть скорость поезда равна $x$ км/ч. Поскольку скорость поезда на 5 км/ч больше скорости автомашины, то скорость автомашины составляет $(x - 5)$ км/ч.

Расстояние, которое туристы проехали на автомашине за 4 часа, равно $4 \cdot (x - 5)$ км.

Расстояние, которое туристы проехали на поезде за 7 часов, равно $7 \cdot x$ км.

Общее расстояние, по условию задачи, составляет 640 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния, пройденные на автомашине и на поезде:

$4(x - 5) + 7x = 640$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$4x - 20 + 7x = 640$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$11x - 20 = 640$

Перенесем -20 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$11x = 640 + 20$

$11x = 660$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 11:

$x = \frac{660}{11}$

$x = 60$

Так как за $x$ мы принимали искомую скорость поезда, то она равна 60 км/ч.

Ответ: скорость поезда 60 км/ч.

1125. Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_{по}$ км/ч — это скорость теплохода по течению, а $v_{пр}$ км/ч — это скорость теплохода против течения.

Исходя из первого условия, "теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км", можно составить первое уравнение. Зная, что расстояние равно скорости, умноженной на время ($S = v \cdot t$), получаем:
$3 \cdot v_{по} + 2 \cdot v_{пр} = 240$

Исходя из второго условия, "этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению", составим второе уравнение:
$3 \cdot v_{пр} = 2 \cdot v_{по} + 35$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} 3v_{по} + 2v_{пр} = 240 \\ 3v_{пр} = 2v_{по} + 35 \end{cases} $$ Перепишем второе уравнение в стандартном виде $-2v_{по} + 3v_{пр} = 35$, чтобы было удобнее решать систему: $$ \begin{cases} 3v_{по} + 2v_{пр} = 240 \\ -2v_{по} + 3v_{пр} = 35 \end{cases} $$ Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим все члены первого уравнения на 2, а все члены второго уравнения на 3: $$ \begin{cases} 2 \cdot (3v_{по} + 2v_{пр}) = 2 \cdot 240 \\ 3 \cdot (-2v_{по} + 3v_{пр}) = 3 \cdot 35 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6v_{по} + 4v_{пр} = 480 \\ -6v_{по} + 9v_{пр} = 105 \end{cases} $$ Теперь сложим левые и правые части уравнений:
$(6v_{по} + 4v_{пр}) + (-6v_{по} + 9v_{пр}) = 480 + 105$
$13v_{пр} = 585$
Найдем $v_{пр}$:
$v_{пр} = \frac{585}{13} = 45$
Таким образом, скорость теплохода против течения составляет 45 км/ч.

Теперь найдем скорость по течению $v_{по}$, подставив значение $v_{пр} = 45$ в первое уравнение исходной системы:
$3v_{по} + 2 \cdot 45 = 240$
$3v_{по} + 90 = 240$
$3v_{по} = 240 - 90$
$3v_{по} = 150$
$v_{по} = \frac{150}{3} = 50$
Таким образом, скорость теплохода по течению составляет 50 км/ч.

Ответ: скорость теплохода против течения равна 45 км/ч, а его скорость по течению — 50 км/ч.

1126. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 280 км, выходят одновременно два автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдёт через 2 ч. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из А, догонит автомобиль, вышедший из В, через 14 ч. Какова скорость каждого автомобиля?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ км/ч — скорость автомобиля, вышедшего из пункта А, и $v_2$ км/ч — скорость автомобиля, вышедшего из пункта B. Расстояние между пунктами $S = 280$ км.

Рассмотрим два сценария движения.

1. Движение навстречу друг другу.

Когда автомобили движутся навстречу, их скорости складываются. Такая скорость называется скоростью сближения и равна $v_1 + v_2$. По условию, встреча происходит через $t_1 = 2$ часа. За это время они совместно проходят все расстояние $S$. Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$(v_1 + v_2) \cdot 2 = 280$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_1 + v_2 = 140$

2. Движение в одном направлении.

Когда автомобили движутся в одном направлении, и автомобиль из А догоняет автомобиль из B, их скорость сближения равна разности их скоростей $v_1 - v_2$ (так как автомобиль из А быстрее). По условию, автомобиль из А догонит автомобиль из B через $t_2 = 14$ часов. За это время более быстрый автомобиль должен сократить первоначальное расстояние между ними, которое равно $S$. Составим второе уравнение:

$(v_1 - v_2) \cdot 14 = 280$

Разделим обе части уравнения на 14:

$v_1 - v_2 = 20$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 140 \\ v_1 - v_2 = 20 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти $v_1$:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 140 + 20$

$2v_1 = 160$

$v_1 = 80$

Скорость автомобиля, вышедшего из пункта А, равна 80 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение, чтобы найти $v_2$:

$80 + v_2 = 140$

$v_2 = 140 - 80$

$v_2 = 60$

Скорость автомобиля, вышедшего из пункта B, равна 60 км/ч.

Ответ: скорость автомобиля, выехавшего из пункта А, — 80 км/ч; скорость автомобиля, выехавшего из пункта B, — 60 км/ч.

1127. Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4 ч. С какой скоростью шёл каждый турист, если известно, что первый прошёл до встречи на 2 км больше второго?

Для решения задачи обозначим искомые скорости туристов как $v_1$ и $v_2$ (в км/ч), а расстояния, которые они прошли до встречи, как $S_1$ и $S_2$ (в км) соответственно. Время до встречи, по условию, составляет $t = 4$ ч.

Шаг 1: Найдём расстояние, которое прошёл каждый турист.

Туристы двигались навстречу друг другу, поэтому суммарное расстояние, которое они прошли до встречи, равно расстоянию между городами:

$S_1 + S_2 = 38$ км.

Из условия известно, что первый турист прошёл на 2 км больше второго:

$S_1 = S_2 + 2$

Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $S_1$ из второго уравнения в первое:

$(S_2 + 2) + S_2 = 38$

Теперь решим полученное уравнение:

$2S_2 + 2 = 38$

$2S_2 = 38 - 2$

$2S_2 = 36$

$S_2 = \frac{36}{2} = 18$ км.

Итак, второй турист прошёл 18 км. Теперь найдём расстояние, которое прошёл первый турист:

$S_1 = 18 + 2 = 20$ км.

Проверим: $S_1 + S_2 = 20 + 18 = 38$ км, что соответствует условию.

Шаг 2: Найдём скорость каждого туриста.

Скорость находится по формуле $v = \frac{S}{t}$. Время в пути для обоих туристов одинаково и равно 4 часам.

Вычислим скорость первого туриста:

$v_1 = \frac{S_1}{t} = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

Вычислим скорость второго туриста:

$v_2 = \frac{S_2}{t} = \frac{18 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 4,5$ км/ч.

Ответ: скорость первого туриста составляет 5 км/ч, а скорость второго туриста — 4,5 км/ч.

1128. Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь − за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_л$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) в км/ч.
• $v_т$ – скорость течения реки в км/ч.
• $v_{по}$ – скорость лодки по течению, $v_{по} = v_л + v_т$.
• $v_{пр}$ – скорость лодки против течения, $v_{пр} = v_л - v_т$.
• $S$ – расстояние между пристанями в км.

1. Первым шагом найдем скорость лодки по течению. Из условия известно, что 70 км по течению лодка проходит за 3,5 часа. Используем формулу скорости $v = S/t$:

$v_{по} = \frac{70 \text{ км}}{3,5 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$.

Таким образом, мы получили первое уравнение:

$v_л + v_т = 20$.

2. Теперь найдем расстояние между пристанями. По условию, путь от одной пристани до другой по течению лодка проходит за 4 часа. Используем формулу расстояния $S = v \times t$:

$S = v_{по} \times 4 \text{ ч} = 20 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 80 \text{ км}$.

3. Далее найдем скорость лодки против течения. Обратный путь, равный 80 км, лодка проходит за 5 часов.

$v_{пр} = \frac{80 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.

Таким образом, мы получили второе уравнение:

$v_л - v_т = 16$.

4. У нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_л + v_т = 20 \\ v_л - v_т = 16 \end{cases}$

Чтобы найти скорость лодки в стоячей воде ($v_л$), сложим эти два уравнения:

$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 20 + 16$

$2v_л = 36$

$v_л = \frac{36}{2}$

$v_л = 18 \text{ км/ч}$.

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

1129. За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.

Обозначим собственную скорость теплохода как $v_с$ (в км/ч) и скорость течения реки как $v_т$ (в км/ч). В таком случае, скорость теплохода по течению будет равна $(v_с + v_т)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_с - v_т)$ км/ч.

Основываясь на условиях задачи, составим систему из двух линейных уравнений, используя формулу "расстояние = скорость ? время".

1. За 3 часа по течению и 4 часа против течения теплоход проходит 380 км. Это дает нам первое уравнение:
$3(v_с + v_т) + 4(v_с - v_т) = 380$

2. За 1 час по течению и 30 минут (что равно 0,5 часа) против течения теплоход проходит 85 км. Это дает нам второе уравнение:
$1(v_с + v_т) + 0.5(v_с - v_т) = 85$

Для упрощения решения введем новые переменные: пусть $x = v_с + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_с - v_т$ (скорость против течения). Теперь система уравнений выглядит так:
$3x + 4y = 380$
$x + 0.5y = 85$

Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 85 - 0.5y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы и решим его относительно $y$:
$3(85 - 0.5y) + 4y = 380$
$255 - 1.5y + 4y = 380$
$2.5y = 380 - 255$
$2.5y = 125$
$y = \frac{125}{2.5} = 50$

Итак, скорость теплохода против течения ($y$) равна 50 км/ч. Теперь найдем скорость по течению ($x$):
$x = 85 - 0.5y = 85 - 0.5 \cdot 50 = 85 - 25 = 60$

Скорость теплохода по течению ($x$) равна 60 км/ч.

Теперь, зная скорости по течению и против течения, мы можем найти искомые величины $v_с$ и $v_т$, решив следующую систему:
$v_с + v_т = 60$
$v_с - v_т = 50$

Сложим оба уравнения, чтобы найти $v_с$:
$(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 60 + 50$
$2v_с = 110$
$v_с = 55$

Теперь подставим значение $v_с$ в любое из двух уравнений (например, в первое), чтобы найти $v_т$:
$55 + v_т = 60$
$v_т = 60 - 55$
$v_т = 5$

Ответ: собственная скорость теплохода — 55 км/ч, скорость течения — 5 км/ч.