Номер 1129, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 45. Решение задач с помощью систем уравнений - номер 1129, страница 223.

Условие.

1129. За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.

Решение 1.

Пусть x км/ч – собственная скорость теплохода,y км/ч – скорость течения, тогда (x + y) км/ч – скорость по течению и (x - y) км/ч – скорость против течения. Зная, что за 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км, а за 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км, составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}3(\mathrm{x}+\mathrm{y})+4(\mathrm{x}-\mathrm{y})=380;\\ 1·(\mathrm{x}+\mathrm{y})+0,5(\mathrm{x}-\mathrm{y})=85 /·(-3);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3(\mathrm{x}+\mathrm{y})+4(\mathrm{x}-\mathrm{y})=380;\\ -3(\mathrm{x}+\mathrm{y})-1,5(\mathrm{x}-\mathrm{y})=-255;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2,5(\mathrm{x}-\mathrm{y})=125;\\ (\mathrm{x}+\mathrm{y})+0,5(\mathrm{x}-\mathrm{y})=85;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=125 : 2,5;\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}+0,5(\mathrm{x}-\mathrm{y})=85;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=50;\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}+0,5·50=85;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=50;\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=85-25;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=50;\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=60;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}=110;\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=60;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=55;\\ 55+\mathrm{y}=60;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=55;\\ \mathrm{y}=5.\end{array}\right.\right.\right.$

Ответ: 55 км/ч, 5 км/ч.

Решение 2.

Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.

Обозначим собственную скорость теплохода как $v_с$ (в км/ч) и скорость течения реки как $v_т$ (в км/ч). В таком случае, скорость теплохода по течению будет равна $(v_с + v_т)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_с - v_т)$ км/ч.

Основываясь на условиях задачи, составим систему из двух линейных уравнений, используя формулу "расстояние = скорость ? время".

1. За 3 часа по течению и 4 часа против течения теплоход проходит 380 км. Это дает нам первое уравнение:
$3(v_с + v_т) + 4(v_с - v_т) = 380$

2. За 1 час по течению и 30 минут (что равно 0,5 часа) против течения теплоход проходит 85 км. Это дает нам второе уравнение:
$1(v_с + v_т) + 0.5(v_с - v_т) = 85$

Для упрощения решения введем новые переменные: пусть $x = v_с + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_с - v_т$ (скорость против течения). Теперь система уравнений выглядит так:
$3x + 4y = 380$
$x + 0.5y = 85$

Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 85 - 0.5y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы и решим его относительно $y$:
$3(85 - 0.5y) + 4y = 380$
$255 - 1.5y + 4y = 380$
$2.5y = 380 - 255$
$2.5y = 125$
$y = \frac{125}{2.5} = 50$

Итак, скорость теплохода против течения ($y$) равна 50 км/ч. Теперь найдем скорость по течению ($x$):
$x = 85 - 0.5y = 85 - 0.5 \cdot 50 = 85 - 25 = 60$

Скорость теплохода по течению ($x$) равна 60 км/ч.

Теперь, зная скорости по течению и против течения, мы можем найти искомые величины $v_с$ и $v_т$, решив следующую систему:
$v_с + v_т = 60$
$v_с - v_т = 50$

Сложим оба уравнения, чтобы найти $v_с$:
$(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 60 + 50$
$2v_с = 110$
$v_с = 55$

Теперь подставим значение $v_с$ в любое из двух уравнений (например, в первое), чтобы найти $v_т$:
$55 + v_т = 60$
$v_т = 60 - 55$
$v_т = 5$

Ответ: собственная скорость теплохода — 55 км/ч, скорость течения — 5 км/ч.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.