Номер 1130, страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1130, страница 224.

1130. На двух полках 55 книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество книг на первой полке, а $y$ — количество книг на второй полке.

Согласно условию, всего на двух полках 55 книг. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 55$

Далее, со второй полки забирают половину книг и ставят на первую. Количество книг, которые переставили, равно $y/2$.После этого на второй полке остается $y - y/2 = y/2$ книг.На первой полке становится $x + y/2$ книг.

По условию, после перестановки количество книг на первой полке стало в 4 раза больше, чем на второй. Составим второе уравнение:

$x + \frac{y}{2} = 4 \cdot \left(\frac{y}{2}\right)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 55 \\ x + \frac{y}{2} = 2y \end{cases}$

Упростим второе уравнение, выразив $x$ через $y$:

$x = 2y - \frac{y}{2}$

$x = \frac{4y - y}{2}$

$x = \frac{3y}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{3y}{2} + y = 55$

Чтобы решить это уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{3y}{2} + \frac{2y}{2} = 55$

$\frac{5y}{2} = 55$

Найдем $y$:

$5y = 55 \cdot 2$

$5y = 110$

$y = \frac{110}{5}$

$y = 22$

Итак, мы выяснили, что на второй полке изначально было 22 книги. Теперь найдем количество книг на первой полке, используя первое уравнение:

$x + 22 = 55$

$x = 55 - 22$

$x = 33$

Таким образом, на первой полке было 33 книги.

Выполним проверку. Изначально на полках 33 и 22 книги, всего $33 + 22 = 55$. Переставляем половину книг со второй полки на первую: $22 / 2 = 11$ книг. На второй полке остается $22 - 11 = 11$ книг. На первой полке становится $33 + 11 = 44$ книги. Проверяем соотношение: $44$ в 4 раза больше, чем $11$ ($44 = 4 \cdot 11$). Условия задачи выполнены.

Ответ: на первой полке было 33 книги, на второй полке — 22 книги.