Страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1130. На двух полках 55 книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество книг на первой полке, а $y$ — количество книг на второй полке.

Согласно условию, всего на двух полках 55 книг. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 55$

Далее, со второй полки забирают половину книг и ставят на первую. Количество книг, которые переставили, равно $y/2$.После этого на второй полке остается $y - y/2 = y/2$ книг.На первой полке становится $x + y/2$ книг.

По условию, после перестановки количество книг на первой полке стало в 4 раза больше, чем на второй. Составим второе уравнение:

$x + \frac{y}{2} = 4 \cdot \left(\frac{y}{2}\right)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 55 \\ x + \frac{y}{2} = 2y \end{cases}$

Упростим второе уравнение, выразив $x$ через $y$:

$x = 2y - \frac{y}{2}$

$x = \frac{4y - y}{2}$

$x = \frac{3y}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{3y}{2} + y = 55$

Чтобы решить это уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{3y}{2} + \frac{2y}{2} = 55$

$\frac{5y}{2} = 55$

Найдем $y$:

$5y = 55 \cdot 2$

$5y = 110$

$y = \frac{110}{5}$

$y = 22$

Итак, мы выяснили, что на второй полке изначально было 22 книги. Теперь найдем количество книг на первой полке, используя первое уравнение:

$x + 22 = 55$

$x = 55 - 22$

$x = 33$

Таким образом, на первой полке было 33 книги.

Выполним проверку. Изначально на полках 33 и 22 книги, всего $33 + 22 = 55$. Переставляем половину книг со второй полки на первую: $22 / 2 = 11$ книг. На второй полке остается $22 - 11 = 11$ книг. На первой полке становится $33 + 11 = 44$ книги. Проверяем соотношение: $44$ в 4 раза больше, чем $11$ ($44 = 4 \cdot 11$). Условия задачи выполнены.

Ответ: на первой полке было 33 книги, на второй полке — 22 книги.

1131. Старинная задача. На левой чаше весов, находящихся в равновесии, лежат 9 одинаковых слитков золота, а на правой − 11 одинаковых слитков серебра. Если поменять местами один слиток золота со слитком серебра, то левая чаша окажется на 13 г легче правой. Сколько весит один слиток золота и один слиток серебра?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса одного слитка золота в граммах, а $y$ — масса одного слитка серебра в граммах.

Из первого условия, что весы находятся в равновесии, когда на левой чаше 9 слитков золота, а на правой — 11 слитков серебра, следует первое уравнение:

$9x = 11y$

Рассмотрим изменение веса на чашах после обмена одного слитка золота на один слиток серебра.С левой чаши убрали слиток золота (масса уменьшилась на $x$) и добавили слиток серебра (масса увеличилась на $y$). Общее изменение веса на левой чаше составило $y - x$.На правую чашу убрали слиток серебра (масса уменьшилась на $y$) и добавили слиток золота (масса увеличилась на $x$). Общее изменение веса на правой чаше составило $x - y$.

После обмена правая чаша стала на 13 г тяжелее левой. Изначально разница в весе между правой и левой чашами была равна 0. Новая разница в весе стала равна 13 г. Это изменение разницы в весе равно разнице изменений весов на чашах:

Изменение на правой чаше - Изменение на левой чаше = Новая разница

$(x - y) - (y - x) = 13$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x - y - y + x = 13$

$2x - 2y = 13$

$2(x - y) = 13$

$x - y = 6,5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 9x = 11y \\ x - y = 6,5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 6,5$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$9(y + 6,5) = 11y$

$9y + 58,5 = 11y$

$11y - 9y = 58,5$

$2y = 58,5$

$y = 29,25$

Итак, масса одного слитка серебра составляет 29,25 г. Теперь найдем массу слитка золота, используя выражение $x = y + 6,5$:

$x = 29,25 + 6,5 = 35,75$

Масса одного слитка золота составляет 35,75 г.

Ответ: один слиток золота весит 35,75 г, а один слиток серебра — 29,25 г.

1132. Масса 4,5 см³ железа и 8 см³ меди равна 101,5 г. Масса 3 см³ железа больше массы 2 см³ меди на 6,8 г. Найдите плотность железа и плотность меди.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — плотность железа в г/см?, а $y$ — плотность меди в г/см?.

Зная, что масса тела равна произведению его объема на плотность ($m = V \cdot \rho$), мы можем перевести условия задачи в математические уравнения.

Из первого условия, "Масса 4,5 см? железа и 8 см? меди равна 101,5 г", получаем первое уравнение:

$4.5x + 8y = 101.5$

Из второго условия, "Масса 3 см? железа больше массы 2 см? меди на 6,8 г", получаем второе уравнение:

$3x - 2y = 6.8$

В результате мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 4.5x + 8y = 101.5 \\ 3x - 2y = 6.8 \end{cases}$

Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим обе части второго уравнения на 4, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:

$4 \cdot (3x - 2y) = 4 \cdot 6.8$

$12x - 8y = 27.2$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:

$\begin{cases} 4.5x + 8y = 101.5 \\ 12x - 8y = 27.2 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений системы:

$(4.5x + 8y) + (12x - 8y) = 101.5 + 27.2$

$16.5x = 128.7$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{128.7}{16.5} = 7.8$

Итак, плотность железа составляет 7,8 г/см?.

Теперь, чтобы найти плотность меди, подставим найденное значение $x = 7.8$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать второе уравнение ($3x - 2y = 6.8$):

$3 \cdot (7.8) - 2y = 6.8$

$23.4 - 2y = 6.8$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $2y$:

$2y = 23.4 - 6.8$

$2y = 16.6$

Находим $y$:

$y = \frac{16.6}{2} = 8.3$

Следовательно, плотность меди составляет 8,3 г/см?.

Ответ: плотность железа равна 7,8 г/см?, плотность меди равна 8,3 г/см?.

1133. Под озимыми культурами было занято на 480 га больше, чем под яровыми. После того как убрали 80% озимых и 25% яровых культур, площадь, оставшаяся под озимыми, оказалась на 300 га меньше, чем площадь под яровыми. Какая площадь была отведена под яровые и какая под озимые культуры?

Пусть площадь, отведенная под яровые культуры, составляет $x$ гектаров (га). Согласно условию, под озимыми культурами было занято на 480 га больше, следовательно, их площадь составляет $(x + 480)$ га.

После того как убрали 80% озимых культур, осталась неубранной $100\% - 80\% = 20\%$ от их первоначальной площади. В гектарах это составляет $0.2 \cdot (x + 480)$ га.

После того как убрали 25% яровых культур, осталась неубранной $100\% - 25\% = 75\%$ от их первоначальной площади. В гектарах это составляет $0.75 \cdot x$ га.

По условию, оставшаяся площадь под озимыми оказалась на 300 га меньше, чем оставшаяся площадь под яровыми. На основе этого составим уравнение:

$0.2 \cdot (x + 480) = 0.75x - 300$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$0.2x + 96 = 0.75x - 300$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую:

$96 + 300 = 0.75x - 0.2x$

$396 = 0.55x$

Найдем $x$:

$x = \frac{396}{0.55} = \frac{39600}{55} = 720$

Таким образом, площадь, отведенная под яровые культуры, составляет 720 га.

Теперь найдем площадь, отведенную под озимые культуры:

$x + 480 = 720 + 480 = 1200$

Площадь, отведенная под озимые культуры, составляет 1200 га.

Ответ: под яровые культуры было отведено 720 га, а под озимые культуры — 1200 га.

1134. Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая − на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить по плану каждая бригада за месяц?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество деталей, которое по плану должна была изготовить первая бригада, а $y$ — количество деталей, которое по плану должна была изготовить вторая бригада.

Согласно условию, по плану обе бригады должны были изготовить 680 деталей. На основе этого составим первое уравнение:

$x + y = 680$

Далее, известно, что первая бригада перевыполнила свое месячное задание на 20%, а вторая — на 15%. Количество деталей, изготовленных первой бригадой сверх плана, составляет $0.2x$. Количество деталей, изготовленных второй бригадой сверх плана, составляет $0.15y$. В сумме они изготовили сверх плана 118 деталей. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$0.2x + 0.15y = 118$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 680 \\ 0.2x + 0.15y = 118 \end{cases} $

Для решения системы выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 680 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$0.2x + 0.15(680 - x) = 118$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки:

$0.2x + 0.15 \times 680 - 0.15x = 118$

$0.2x + 102 - 0.15x = 118$

Приведем подобные слагаемые:

$0.05x = 118 - 102$

$0.05x = 16$

Найдем $x$:

$x = \frac{16}{0.05} = 320$

Таким образом, плановое задание для первой бригады составляло 320 деталей. Теперь найдем плановое задание для второй бригады, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 680 - 320 = 360$

Плановое задание для второй бригады составляло 360 деталей.

Проверим правильность решения. Найдем, сколько деталей сверх плана изготовила каждая бригада:

• Первая бригада: $20\%$ от 320 это $0.2 \times 320 = 64$ детали.
• Вторая бригада: $15\%$ от 360 это $0.15 \times 360 = 54$ детали.

Общее количество деталей, изготовленных сверх плана: $64 + 54 = 118$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: по плану первая бригада должна была изготовить 320 деталей, а вторая — 360 деталей.

1135. Имеется молоко 5% жирности и 1% жирности. Сколько молока каждого вида надо взять, чтобы получить 3 л молока, жирность которого составляет 3,2%?

Для решения этой задачи используется метод составления системы уравнений. Обозначим искомые величины переменными.

Пусть $x$ — это количество молока 5% жирности в литрах.

Пусть $y$ — это количество молока 1% жирности в литрах.

Согласно условию, общий объем смеси должен составлять 3 литра. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 3$

Далее, рассчитаем общее количество жира в смеси. Количество жира в $x$ литрах 5% молока равно $0.05x$. Количество жира в $y$ литрах 1% молока равно $0.01y$.

В итоговой смеси (3 литра) жирность должна составлять 3,2%. Таким образом, общее количество жира в смеси будет равно $3 \cdot 0.032 = 0.096$ литра.

Сумма жира из двух исходных видов молока должна быть равна количеству жира в конечной смеси, что дает нам второе уравнение:

$0.05x + 0.01y = 0.096$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 3 \\ 0.05x + 0.01y = 0.096 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 3 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$0.05x + 0.01(3 - x) = 0.096$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$0.05x + 0.03 - 0.01x = 0.096$

$0.04x = 0.096 - 0.03$

$0.04x = 0.066$

$x = \frac{0.066}{0.04} = \frac{66}{40} = 1.65$

Таким образом, для смеси необходимо взять 1,65 литра молока 5% жирности.

Теперь найдем количество молока 1% жирности, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 3 - 1.65 = 1.35$

Следовательно, необходимо взять 1,35 литра молока 1% жирности.

Ответ: необходимо взять 1,65 л молока 5% жирности и 1,35 л молока 1% жирности.

1136. Имеющиеся 45 000 р. клиент банка разделил на две части. Одну из них он положил на вклад «Депозитный», доход по которому составлял 9% в год, но нельзя было снимать деньги в течение года. Другую часть он положил на вклад «До востребования», доход по которому составлял 1% в год, однако в любое время можно было взять деньги полностью или частично. В результате общий доход, полученный клиентом через год, составил 3410 р. Сколько денег положил клиент на вклад «Депозитный» и сколько на вклад «До востребования»?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — сумма денег (в рублях), которую клиент положил на вклад «Депозитный».

Пусть $y$ — сумма денег (в рублях), которую клиент положил на вклад «До востребования».

По условию, общая сумма денег составляет 45 000 рублей. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 45000$

Доход по вкладу «Депозитный» составляет 9% в год, то есть $0.09x$ рублей. Доход по вкладу «До востребования» составляет 1% в год, то есть $0.01y$ рублей. Общий годовой доход составил 3410 рублей. Это дает нам второе уравнение:

$0.09x + 0.01y = 3410$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 45000 \\ 0.09x + 0.01y = 3410 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 45000 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$0.09x + 0.01(45000 - x) = 3410$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$0.09x + 450 - 0.01x = 3410$

Сгруппируем слагаемые с $x$:

$0.08x = 3410 - 450$

$0.08x = 2960$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{2960}{0.08} = \frac{296000}{8} = 37000$

Таким образом, на вклад «Депозитный» было положено 37 000 рублей.

Теперь найдем сумму, положенную на вклад «До востребования», подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 45000 - 37000 = 8000$

Следовательно, на вклад «До востребования» было положено 8 000 рублей.

Ответ: на вклад «Депозитный» клиент положил 37 000 рублей, а на вклад «До востребования» — 8 000 рублей.

1137. Из 10%−го и 15%−го растворов соляной кислоты требуется составить 80 г раствора, концентрация которого равна 12%. Сколько граммов каждого раствора надо взять?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса 10%-го раствора соляной кислоты в граммах, а $y$ — масса 15%-го раствора в граммах.

По условию, общая масса полученного раствора должна быть 80 г. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 80$

Далее, рассчитаем массу чистого вещества (соляной кислоты) в каждом растворе. В $x$ граммах 10%-го раствора содержится $0.10x$ граммов кислоты. В $y$ граммах 15%-го раствора содержится $0.15y$ граммов кислоты.

Итоговый раствор массой 80 г должен иметь концентрацию 12%. Значит, масса кислоты в нем составляет:

$80 \cdot 0.12 = 9.6$ г

Масса кислоты в итоговом растворе складывается из масс кислоты в исходных растворах. Это дает нам второе уравнение:

$0.10x + 0.15y = 9.6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 80 \\ 0.10x + 0.15y = 9.6 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 80 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.10(80 - y) + 0.15y = 9.6$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$8 - 0.10y + 0.15y = 9.6$

Приведем подобные члены:

$0.05y = 9.6 - 8$

$0.05y = 1.6$

Найдем $y$:

$y = \frac{1.6}{0.05} = \frac{160}{5} = 32$

Итак, требуется 32 грамма 15%-го раствора.

Теперь найдем массу 10%-го раствора, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 80 - 32 = 48$

Следовательно, требуется 48 граммов 10%-го раствора.

Ответ: необходимо взять 48 г 10%-го раствора и 32 г 15%-го раствора.

1138. Смешав кислоту 70%−й и 48%−й концентрации, получили 660 г кислоты 60%−й концентрации. Сколько было взято кислоты каждого вида?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ г — масса кислоты 70%-й концентрации, а $y$ г — масса кислоты 48%-й концентрации.

Согласно условию, общая масса полученной смеси составляет 660 г. Это позволяет нам составить первое уравнение:
$x + y = 660$

Теперь рассмотрим массу чистого вещества (кислоты) в каждом растворе.
Масса чистой кислоты в первом растворе (70%-м): $0.70x$ г.
Масса чистой кислоты во втором растворе (48%-м): $0.48y$ г.
Масса чистой кислоты в итоговом растворе (60%-м): $0.60 \cdot 660 = 396$ г.

Сумма масс чистой кислоты в исходных растворах равна массе чистой кислоты в полученной смеси. Это дает нам второе уравнение:
$0.70x + 0.48y = 396$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 660 \\ 0.7x + 0.48y = 396 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 660 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$0.7x + 0.48(660 - x) = 396$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$0.7x + 316.8 - 0.48x = 396$
$0.22x = 396 - 316.8$
$0.22x = 79.2$
$x = \frac{79.2}{0.22} = \frac{7920}{22} = 360$

Итак, масса 70%-й кислоты составляет 360 г.

Теперь найдем массу 48%-й кислоты, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 660 - 360 = 300$

Следовательно, масса 48%-й кислоты составляет 300 г.

Ответ: было взято 360 г кислоты 70%-й концентрации и 300 г кислоты 48%-й концентрации.