Страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1171. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика уравнения (х + 2)(у + 3) = 0 с осью х; с осью у.

Исходное уравнение: $(x + 2)(y + 3) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x + 2 = 0$ или $y + 3 = 0$.
То есть, $x = -2$ или $y = -3$.

Графиком этого уравнения является объединение двух прямых: вертикальной прямой $x = -2$ и горизонтальной прямой $y = -3$.

с осью x
Точка пересечения графика с осью $x$ (осью абсцисс) имеет ординату (координату $y$), равную нулю. Подставим $y = 0$ в исходное уравнение, чтобы найти соответствующую абсциссу (координату $x$):
$(x + 2)(0 + 3) = 0$
$3(x + 2) = 0$
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(-2; 0)$.
Ответ: $(-2; 0)$.

с осью y
Точка пересечения графика с осью $y$ (осью ординат) имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Подставим $x = 0$ в исходное уравнение, чтобы найти соответствующую ординату (координату $y$):
$(0 + 2)(y + 3) = 0$
$2(y + 3) = 0$
$y + 3 = 0$
$y = -3$
Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; -3)$.
Ответ: $(0; -3)$.

1172. Постройте график уравнения:
а) у = |х|; б) y = −|х|.

а) $y = |x|$

Для построения графика функции $y = |x|$ необходимо раскрыть модуль. По определению, абсолютная величина (модуль) числа $x$ определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, для построения графика нам нужно рассмотреть два случая:

1. Когда $x \ge 0$ (правая полуплоскость, включая ось $Oy$), уравнение принимает вид $y = x$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой первой координатной четверти.

2. Когда $x < 0$ (левая полуплоскость), уравнение принимает вид $y = -x$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой второй координатной четверти.

Для построения можно составить таблицу значений:

Соединив точки, получаем график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$ и расположенных в I и II координатных четвертях.

Ответ: График уравнения $y = |x|$ состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Оба луча выходят из начала координат.

б) $y = -|x|$

Для построения графика функции $y = -|x|$ мы также используем определение модуля:

$y = -|x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases} = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, для построения графика нам также нужно рассмотреть два случая:

1. Когда $x \ge 0$, уравнение принимает вид $y = -x$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой четвертой координатной четверти.

2. Когда $x < 0$, уравнение принимает вид $y = x$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат и проходящий через третью координатную четверть.

Этот график симметричен графику $y = |x|$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

Составим таблицу значений для построения:

Соединив точки, получаем график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$ и расположенных в III и IV координатных четвертях.

Ответ: График уравнения $y = -|x|$ состоит из двух лучей: $y = -x$ при $x \ge 0$ и $y = x$ при $x < 0$. Оба луча выходят из начала координат и направлены вниз.

1173. Является ли решением системы уравнений

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{a}}^2 + b^2 = 16,\\ {\mathrm{a}}^2 + 8\mathrm{a} + b^2 - 8b + 16 = 0\end{array}\right.$

пара чисел:
а) а = 0, b = 4; б) а = 0, b = −4; в) а = −4, b = 0?

Чтобы пара чисел $(a, b)$ была решением системы уравнений, она должна удовлетворять каждому уравнению этой системы. Проверим каждую из предложенных пар.

Данная система уравнений:

$$\begin{cases}a^2 + b^2 = 16 \\a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0\end{cases}$$

Для удобства проверки можно упростить второе уравнение. Заметим, что в него входят слагаемые $a^2$ и $b^2$. Из первого уравнения системы мы знаем, что их сумма равна 16, то есть $a^2 + b^2 = 16$. Подставим это значение во второе уравнение:

$(a^2 + b^2) + 8a - 8b + 16 = 0$

$16 + 8a - 8b + 16 = 0$

$8a - 8b + 32 = 0$

Разделим обе части полученного уравнения на 8:

$a - b + 4 = 0$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей, более простой системе:

$$\begin{cases}a^2 + b^2 = 16 \\a - b + 4 = 0\end{cases}$$

Теперь будем подставлять заданные пары чисел в уравнения этой эквивалентной системы.

а) $a = 0, b = 4$

Подставляем значения в первое уравнение: $0^2 + 4^2 = 0 + 16 = 16$. Равенство $16 = 16$ является верным.

Подставляем значения во второе уравнение: $0 - 4 + 4 = 0$. Равенство $0 = 0$ является верным.

Поскольку оба уравнения обратились в верные числовые равенства, пара чисел $(0, 4)$ является решением системы. Ответ: да, является.

б) $a = 0, b = -4$

Подставляем значения в первое уравнение: $0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16$. Равенство $16 = 16$ является верным.

Подставляем значения во второе уравнение: $0 - (-4) + 4 = 4 + 4 = 8$. Равенство $8 = 0$ является неверным.

Поскольку второе уравнение не обратилось в верное равенство, пара чисел $(0, -4)$ не является решением системы. Ответ: нет, не является.

в) $a = -4, b = 0$

Подставляем значения в первое уравнение: $(-4)^2 + 0^2 = 16 + 0 = 16$. Равенство $16 = 16$ является верным.

Подставляем значения во второе уравнение: $-4 - 0 + 4 = 0$. Равенство $0 = 0$ является верным.

Поскольку оба уравнения обратились в верные числовые равенства, пара чисел $(-4, 0)$ является решением системы. Ответ: да, является.

1174. Докажите, что прямые х + у = 5, 2х − у = 16 и х + 2у = 3 пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?

Для того чтобы доказать, что прямые $x+y=5$, $2x-y=16$ и $x+2y=3$ пересекаются в одной точке, нужно найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению третьей прямой.

Возьмем первые два уравнения и решим систему, чтобы найти точку их пересечения:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 16 \end{cases} $

Используем метод алгебраического сложения, чтобы исключить переменную $y$. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (2x - y) = 5 + 16$

$3x = 21$

Разделив обе части на 3, находим $x$:

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x=7$ в первое уравнение ($x+y=5$) для нахождения $y$:

$7 + y = 5$

$y = 5 - 7$

$y = -2$

Таким образом, точка пересечения прямых $x+y=5$ и $2x-y=16$ имеет координаты $(7, -2)$.

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой, заданной уравнением $x+2y=3$. Подставим координаты $x=7$ и $y=-2$ в это уравнение:

$7 + 2(-2) = 3$

$7 - 4 = 3$

$3 = 3$

Так как мы получили верное равенство, точка $(7, -2)$ лежит и на третьей прямой. Это доказывает, что все три прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки мы уже нашли в процессе решения.

Ответ: Доказано, что прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки $(7, -2)$.

1175. При каком значении а прямые 5x − 2у = 3 и x + у = а пересекаются в точке, принадлежащей оси у?

По условию задачи, прямые $5x - 2y = 3$ и $x + y = a$ пересекаются в точке, которая принадлежит оси $y$.

Любая точка, лежащая на оси $y$ (оси ординат), имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Пусть точка пересечения имеет координаты $(x_0, y_0)$. Так как эта точка лежит на оси $y$, то $x_0 = 0$.

Поскольку точка пересечения принадлежит обеим прямым, ее координаты должны удовлетворять уравнениям обеих прямых.

Подставим значение $x = 0$ в уравнение первой прямой, чтобы найти ординату точки пересечения:

$5 \cdot 0 - 2y = 3$

$0 - 2y = 3$

$-2y = 3$

$y = -\frac{3}{2} = -1.5$

Таким образом, мы нашли координаты точки пересечения: $(0; -1.5)$.

Теперь подставим найденные координаты точки пересечения $(0; -1.5)$ в уравнение второй прямой, чтобы найти искомое значение $a$:

$x + y = a$

$0 + (-1.5) = a$

$a = -1.5$

При значении $a = -1.5$ прямые пересекаются в точке $(0; -1.5)$, которая лежит на оси $y$.

Ответ: $a = -1.5$.

1176. При каком значении b прямые bх + 3у = 10 и х − 2у = 4 пересекаются в точке, принадлежащей оси х?

По условию задачи, точка пересечения двух прямых принадлежит оси $x$. Это означает, что ордината (координата $y$) этой точки равна нулю.

Мы имеем систему из двух уравнений:
$bx + 3y = 10$
$x - 2y = 4$

Зная, что в точке пересечения $y = 0$, мы можем подставить это значение во второе уравнение, чтобы найти абсциссу (координату $x$) этой точки.
$x - 2 \cdot 0 = 4$
$x - 0 = 4$
$x = 4$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых — $(4; 0)$.

Теперь, чтобы найти значение параметра $b$, подставим координаты точки пересечения $(4; 0)$ в первое уравнение, так как эта точка должна принадлежать и первой прямой:
$b \cdot x + 3 \cdot y = 10$
$b \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 10$
$4b + 0 = 10$
$4b = 10$
$b = \frac{10}{4}$
$b = 2.5$

Следовательно, при $b=2.5$ прямые пересекаются в точке на оси $x$.

Ответ: $2.5$

1177. При каком значении k прямая у = kх − 4 проходит через точку пересечения прямых у = 2х − 5 и у = −x + 1?

Чтобы решить задачу, необходимо сначала найти координаты точки пересечения прямых $y = 2x - 5$ и $y = -x + 1$. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обеих прямых совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части их уравнений.

Составим и решим уравнение:
$2x - 5 = -x + 1$
$2x + x = 1 + 5$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

Теперь, зная координату $x$, мы можем найти координату $y$, подставив значение $x=2$ в уравнение любой из двух прямых. Подставим в уравнение $y = -x + 1$:
$y = -2 + 1$
$y = -1$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(2; -1)$.

Далее, по условию задачи, прямая $y = kx - 4$ должна проходить через эту точку. Это означает, что координаты точки $(2; -1)$ должны удовлетворять уравнению $y = kx - 4$. Подставим значения $x = 2$ и $y = -1$ в это уравнение, чтобы найти коэффициент $k$:
$-1 = k \cdot 2 - 4$

Решим полученное уравнение относительно $k$:
$2k = 4 - 1$
$2k = 3$
$k = \frac{3}{2}$
$k = 1.5$

Ответ: $1.5$

1178. Решите графически систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} + 3\mathrm{x}= 0,\\ \mathrm{x} - \mathrm{y} = 4;\\ \mathrm{x} + \mathrm{y} = -2;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} + \mathrm{y} = 1,\\ \mathrm{y} - \mathrm{x} = 3 ,\\ 2\mathrm{x} + \mathrm{y} = 0.\end{array}\right.$

а) Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} y + 3x = 0 \\ x - y = 4 \\ x + y = -2 \end{cases} $ необходимо построить графики всех трех уравнений в одной координатной плоскости. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

Приведем каждое уравнение к виду $y=kx+b$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом) и найдем по две точки для построения каждой прямой:

1. Первое уравнение: $y + 3x = 0 \implies y = -3x$.
Это прямая пропорциональность. Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$.
Если $x=1$, то $y=-3(1)=-3$. Точка $(1, -3)$.

2. Второе уравнение: $x - y = 4 \implies -y = -x + 4 \implies y = x - 4$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=0-4=-4$. Точка $(0, -4)$.
Если $x=4$, то $y=4-4=0$. Точка $(4, 0)$.

3. Третье уравнение: $x + y = -2 \implies y = -x - 2$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=-0-2=-2$. Точка $(0, -2)$.
Если $x=-2$, то $y=-(-2)-2=0$. Точка $(-2, 0)$.

Построив графики этих трех прямых на координатной плоскости, мы увидим, что они все пересекаются в одной точке. Координаты этой точки пересечения — $(1, -3)$.

Проверим, является ли точка $(1, -3)$ решением, подставив ее координаты в каждое уравнение системы:
1) $-3 + 3(1) = -3+3=0$ (верно)
2) $1 - (-3) = 1+3=4$ (верно)
3) $1 + (-3) = -2$ (верно)
Так как координаты точки удовлетворяют всем трем уравнениям, она является решением системы.

Ответ: $(1, -3)$.

б) Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} x + y = 1 \\ y - x = 3 \\ 2x + y = 0 \end{cases} $ построим графики всех трех уравнений в одной координатной плоскости.

Приведем каждое уравнение к виду $y=kx+b$ и найдем по две точки для построения каждой прямой:

1. Первое уравнение: $x + y = 1 \implies y = -x + 1$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=1$. Точка $(0, 1)$.
Если $x=1$, то $y=-1+1=0$. Точка $(1, 0)$.

2. Второе уравнение: $y - x = 3 \implies y = x + 3$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=3$. Точка $(0, 3)$.
Если $x=-1$, то $y=-1+3=2$. Точка $(-1, 2)$.

3. Третье уравнение: $2x + y = 0 \implies y = -2x$.
Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$.
Если $x=-1$, то $y=-2(-1)=2$. Точка $(-1, 2)$.

Построив графики этих трех прямых, мы находим их общую точку пересечения. Все три прямые пересекаются в точке с координатами $(-1, 2)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:
1) $(-1) + 2 = 1$ (верно)
2) $2 - (-1) = 2+1=3$ (верно)
3) $2(-1) + 2 = -2+2=0$ (верно)
Координаты точки удовлетворяют всем уравнениям, следовательно, это решение системы.

Ответ: $(-1, 2)$.

1179. Имеет ли система решения и если имеет, то сколько:

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 5y = 17 \\ 4x - 10y = 45 \end{cases}$

Чтобы определить, сколько решений имеет система линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, нужно сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

В данной системе $a_1 = 2$, $b_1 = 5$, $c_1 = 17$ и $a_2 = 4$, $b_2 = -10$, $c_2 = 45$.

Найдем отношения коэффициентов при $x$ и $y$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$

Так как отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, поскольку $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$), то прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{15} = 1 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases}$

Сначала преобразуем первое уравнение, умножив его на 15, чтобы избавиться от знаменателей:

$15 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{y}{15}) = 15 \cdot 1$

$3x - y = 15$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 3x - y = 15 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=3, b_1=-1, c_1=15$ и $a_2=6, b_2=-2, c_2=35$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Поскольку отношения коэффициентов при переменных равны, а отношение свободных членов им не равно ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, так как $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{7}$), то прямые параллельны и не совпадают. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: система не имеет решений.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 0.2x - 5y = 11 \\ -x + 25y = -55 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=0.2, b_1=-5, c_1=11$ и $a_2=-1, b_2=25, c_2=-55$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{0.2}{-1} = -0.2 = -\frac{1}{5}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{11}{-55} = -\frac{1}{5}$

Так как все три отношения равны ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), то уравнения в системе являются равносильными, а их графики — совпадающими прямыми. Это значит, что система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10 \\ 9x - 2y = 1 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=3, b_1=\frac{1}{3}, c_1=10$ и $a_2=9, b_2=-2, c_2=1$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1/3}{-2} = -\frac{1}{6}$

Поскольку отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, так как $\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{6}$), то прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

1180. (Для работы в парах.) Подберите какое − либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением 10х + 5у = 1 составило бы систему: а) имеющую одно решение; б) имеющую бесконечно много решений; в) не имеющую решений.
1) Выполните совместно задание а) и решите составленную систему.
2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

а) Чтобы система линейных уравнений имела одно решение, их графики (прямые) должны пересекаться в одной точке. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых различны. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ это условие выражается как непропорциональность коэффициентов при переменных: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Наше исходное уравнение: $10x + 5y = 1$. Здесь $a_1=10, b_1=5$. Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2, b_2$ для второго уравнения так, чтобы $\frac{10}{a_2} \neq \frac{5}{b_2}$.

Возьмем простое уравнение, например, $x - y = 0$. В этом случае $a_2=1, b_2=-1$. Проверим условие: $\frac{10}{1} \neq \frac{5}{-1}$, или $10 \neq -5$. Условие выполняется. Значит, система, составленная из уравнений $10x + 5y = 1$ и $x - y = 0$, будет иметь одно решение.

Теперь, согласно заданию, решим составленную систему:

$\begin{cases} 10x + 5y = 1 \\ x - y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $x = y$. Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$10y + 5y = 1$

$15y = 1$

$y = \frac{1}{15}$

Так как $x = y$, то $x = \frac{1}{15}$.

Единственное решение системы: $(\frac{1}{15}; \frac{1}{15})$.

Ответ: Второе уравнение, например, $x - y = 0$. Решение системы: $x = \frac{1}{15}, y = \frac{1}{15}$.

б) Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны быть эквивалентными, то есть описывать одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты одного уравнения должны быть пропорциональны соответствующим коэффициентам другого. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ это условие выражается как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Для исходного уравнения $10x + 5y = 1$ ($a_1=10, b_1=5, c_1=1$) мы можем получить второе уравнение, умножив его на любое число $k \neq 0$.

Например, умножим исходное уравнение на $k=2$:

$2 \cdot (10x + 5y) = 2 \cdot 1$

$20x + 10y = 2$

Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$, $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$. Все отношения равны, значит система $\begin{cases} 10x + 5y = 1 \\ 20x + 10y = 2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений.

Ответ: Второе уравнение, например, $20x + 10y = 2$.

в) Чтобы система не имела решений, ее уравнения должны описывать параллельные, но не совпадающие прямые. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ это условие выражается как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Возьмем левую часть исходного уравнения $10x + 5y$ и умножим ее на какое-нибудь число $k \neq 0$, например, на $k=2$. Получим $20x + 10y$.

Теперь $a_2=20, b_2=10$. Отношения $\frac{a_1}{a_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ равны.

Нам нужно подобрать свободный член $c_2$ так, чтобы $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$. У нас $c_1=1$, значит $\frac{1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$, то есть $c_2 \neq 2$. Мы можем выбрать любое значение для $c_2$, кроме 2. Например, пусть $c_2 = 3$.

Тогда второе уравнение будет $20x + 10y = 3$.

Система $\begin{cases} 10x + 5y = 1 \\ 20x + 10y = 3 \end{cases}$ не имеет решений. Если мы умножим первое уравнение на 2, получим $20x + 10y = 2$. Это противоречит второму уравнению $20x + 10y = 3$, так как $2 \neq 3$.

Ответ: Второе уравнение, например, $20x + 10y = 3$.