Номер 1173, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1173, страница 230.

1173. Является ли решением системы уравнений

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{a}}^2 + b^2 = 16,\\ {\mathrm{a}}^2 + 8\mathrm{a} + b^2 - 8b + 16 = 0\end{array}\right.$

пара чисел:
а) а = 0, b = 4; б) а = 0, b = −4; в) а = −4, b = 0?

Чтобы пара чисел $(a, b)$ была решением системы уравнений, она должна удовлетворять каждому уравнению этой системы. Проверим каждую из предложенных пар.

Данная система уравнений:

$$\begin{cases}a^2 + b^2 = 16 \\a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0\end{cases}$$

Для удобства проверки можно упростить второе уравнение. Заметим, что в него входят слагаемые $a^2$ и $b^2$. Из первого уравнения системы мы знаем, что их сумма равна 16, то есть $a^2 + b^2 = 16$. Подставим это значение во второе уравнение:

$(a^2 + b^2) + 8a - 8b + 16 = 0$

$16 + 8a - 8b + 16 = 0$

$8a - 8b + 32 = 0$

Разделим обе части полученного уравнения на 8:

$a - b + 4 = 0$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей, более простой системе:

$$\begin{cases}a^2 + b^2 = 16 \\a - b + 4 = 0\end{cases}$$

Теперь будем подставлять заданные пары чисел в уравнения этой эквивалентной системы.

а) $a = 0, b = 4$

Подставляем значения в первое уравнение: $0^2 + 4^2 = 0 + 16 = 16$. Равенство $16 = 16$ является верным.

Подставляем значения во второе уравнение: $0 - 4 + 4 = 0$. Равенство $0 = 0$ является верным.

Поскольку оба уравнения обратились в верные числовые равенства, пара чисел $(0, 4)$ является решением системы. Ответ: да, является.

б) $a = 0, b = -4$

Подставляем значения в первое уравнение: $0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16$. Равенство $16 = 16$ является верным.

Подставляем значения во второе уравнение: $0 - (-4) + 4 = 4 + 4 = 8$. Равенство $8 = 0$ является неверным.

Поскольку второе уравнение не обратилось в верное равенство, пара чисел $(0, -4)$ не является решением системы. Ответ: нет, не является.

в) $a = -4, b = 0$

Подставляем значения в первое уравнение: $(-4)^2 + 0^2 = 16 + 0 = 16$. Равенство $16 = 16$ является верным.

Подставляем значения во второе уравнение: $-4 - 0 + 4 = 0$. Равенство $0 = 0$ является верным.

Поскольку оба уравнения обратились в верные числовые равенства, пара чисел $(-4, 0)$ является решением системы. Ответ: да, является.