Номер 1166, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1166, страница 229.

1166. Докажите, что графику уравнения 6х − 12y = 5 не принадлежит ни одна точка с целочисленными координатами.

Для того чтобы доказать, что графику уравнения $6x - 12y = 5$ не принадлежит ни одна точка с целочисленными координатами, необходимо показать, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что существуют такие целые числа $x$ и $y$, которые удовлетворяют данному уравнению. Это значит, что на графике есть точка с целочисленными координатами $(x, y)$.

Рассмотрим левую часть уравнения: $6x - 12y$.

Можно заметить, что для любых целых $x$ и $y$:

• $6x$ является четным числом (так как содержит множитель 2).
• $12y$ является четным числом (так как содержит множитель 2).

Разность двух четных чисел ($6x - 12y$) всегда является четным числом.

Однако правая часть уравнения равна 5, что является нечетным числом.

Таким образом, мы приходим к противоречию: равенство "четное число = нечетное число" является невозможным. Это означает, что наше первоначальное предположение о существовании целочисленных решений неверно.

К этому же выводу можно прийти, если вынести общий множитель в левой части уравнения:

$6x - 12y = 6(x - 2y)$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$6(x - 2y) = 5$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то разность $(x - 2y)$ также является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$. Уравнение примет вид $6k = 5$.

Из этого следует, что левая часть уравнения ($6k$) делится нацело на 6, в то время как правая часть (5) на 6 нацело не делится. Это противоречие доказывает, что уравнение не может иметь решений в целых числах.

Ответ: Уравнение $6x - 12y = 5$ не имеет решений в целых числах, следовательно, его графику не принадлежит ни одна точка с целочисленными координатами, что и требовалось доказать.