Номер 1160, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 14 - номер 1160, страница 229.

Условие.

1160. Трёхзначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру поставить на первое место, то новое число будет на 7 меньше удвоенного данного числа. Найдите данное число.

Решение 1.

Пусть $\overline{\mathrm{ab}4}=100\mathrm{a}+10\mathrm{b}+4$ – данное число, $4\overline{\mathrm{ab}}=400+10\mathrm{a}+\mathrm{b}$ – новое число. Зная, что новое число на 7 меньше удвоенного данного числа, составим уравнение:

2(100a + 10b + 4) - (400 + 10a + b) = 7;
200a + 20b + 8 - 400 - 10a - b = 7;
190a + 19b - 392 = 7;
19(10a + b) = 7 + 392;
19(10a + b) = 399;
10a + b = 399 : 19;
10a + b = 21;
10 ⋅ 2 + 1 = 21;
a = 2; b = 1

214 – искомое число.

Ответ: 214.

Решение 2.

Пусть искомое трёхзначное число — это $N$. По условию, последняя цифра этого числа — 4. Мы можем представить это число в виде $N = 10x + 4$, где $x$ — это двузначное число, образованное первыми двумя цифрами числа $N$. Например, если бы число было 124, то $x$ был бы равен 12.

Далее, по условию, мы переставляем цифру 4 с конца числа в начало. Новое число будет иметь вид $400 + x$. Например, если исходное число было 124, то новое стало бы 412.

В задаче сказано, что новое число на 7 меньше удвоенного данного (исходного) числа. Это можно записать в виде уравнения:
Новое число = $2 \cdot$ (Данное число) - 7
$400 + x = 2 \cdot (10x + 4) - 7$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.
Сначала раскроем скобки в правой части:
$400 + x = 20x + 8 - 7$
Упростим правую часть:
$400 + x = 20x + 1$

Теперь соберём все слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой.
$400 - 1 = 20x - x$
$399 = 19x$

Найдём $x$, разделив 399 на 19:
$x = \frac{399}{19}$
$x = 21$

Итак, мы выяснили, что первые две цифры искомого числа — это 2 и 1. Так как последняя цифра по условию равна 4, то искомое число — это 214.

Проверка:
Данное число: 214.
Удвоенное данное число: $2 \times 214 = 428$.
Новое число, полученное перестановкой цифры 4 в начало: 421.
Проверим условие: $421 = 428 - 7$. Равенство $421 = 421$ верно.

Ответ: 214.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.