Номер 1155, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1155, страница 228.

1155. Докажите, что если в уравнении ах + by = 81 коэффициенты а и b − целые числа, то пара чисел (15; 40) не может быть решением этого уравнения.

Для того чтобы доказать утверждение, воспользуемся методом от противного.

Предположим, что пара чисел $(15; 40)$ является решением уравнения $ax + by = 81$ при некоторых целых коэффициентах $a$ и $b$. Это означает, что при подстановке $x=15$ и $y=40$ в уравнение мы получим верное равенство: $$a \cdot 15 + b \cdot 40 = 81$$ $$15a + 40b = 81$$

Рассмотрим левую часть равенства, $15a + 40b$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15 и 40. Так как $15 = 3 \cdot 5$ и $40 = 8 \cdot 5$, то НОД(15, 40) = 5. Вынесем этот общий множитель за скобки: $$5(3a + 8b) = 81$$

По условию, $a$ и $b$ — целые числа. Следовательно, выражение в скобках $(3a + 8b)$, как результат операций сложения и умножения над целыми числами, также является целым числом. Обозначим его как $k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда уравнение примет вид: $$5k = 81$$

Это равенство означает, что левая часть ($5k$) должна быть кратна 5, поскольку является произведением целого числа на 5. Однако правая часть равна 81. Число 81 не делится на 5 нацело ($81 \div 5 = 16.2$).

Таким образом, мы пришли к противоречию: левая часть равенства делится на 5, а правая — нет. Такое равенство не может быть верным для целых $a$ и $b$. Наше первоначальное предположение было ошибочным.

Ответ: Пара чисел (15; 40) не может быть решением уравнения $ax + by = 81$, если коэффициенты $a$ и $b$ — целые числа, что и требовалось доказать.