Номер 1151, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1151, страница 228.

1151. Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств и найдите её площадь

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \le -0,5\mathrm{х} + 2,\\ \mathrm{х} \ge 0,\\ \mathrm{у} \ge 0,\end{array}\right.$

и найдите её площадь.

Для решения задачи необходимо сначала изобразить на координатной плоскости фигуру, заданную системой неравенств, а затем вычислить её площадь.

1. Изображение фигуры

Рассмотрим заданную систему неравенств:

$ \begin{cases} y \le -0,5x + 2, \\ x \ge 0, \\ y \ge 0. \end{cases} $

Неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ задают область, которая является первой координатной четвертью, включая её границы — положительные части осей Ox и Oy.

Теперь рассмотрим неравенство $y \le -0,5x + 2$. Границей этой области является прямая, заданная уравнением $y = -0,5x + 2$. Для построения этой прямой найдем точки ее пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, получаем $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью Oy — $(0; 2)$.
• При $y = 0$, получаем $0 = -0,5x + 2$, откуда $0,5x = 2$ и $x = 4$. Точка пересечения с осью Ox — $(4; 0)$.

Неравенство $y \le -0,5x + 2$ определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -0,5x + 2$, включая саму прямую, так как неравенство нестрогое.

Искомая фигура является пересечением всех трех областей. Это треугольник, ограниченный осями координат (прямыми $x=0$ и $y=0$) и отрезком прямой $y = -0,5x + 2$, соединяющим точки $(4; 0)$ и $(0; 2)$.

Ответ: Фигура, задаваемая системой неравенств, является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(0; 0)$, $(4; 0)$ и $(0; 2)$.

2. Нахождение площади фигуры

Как было установлено, фигура — это прямоугольный треугольник, прямой угол которого находится в начале координат $O(0; 0)$. Катеты этого треугольника лежат на осях координат.

Длина катета, лежащего на оси Ox, равна расстоянию от точки $(0; 0)$ до точки $(4; 0)$, то есть $a = 4$.

Длина катета, лежащего на оси Oy, равна расстоянию от точки $(0; 0)$ до точки $(0; 2)$, то есть $b = 2$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле половины произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставим значения длин катетов в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$

Ответ: Площадь фигуры равна 4 квадратным единицам.