Номер 1150, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1150, страница 228.

1150. Какую фигуру на координатной плоскости задаёт система неравенств:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \le х,\\ \mathrm{y} \ge 7;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c} \mathrm{y} \le -\mathrm{х} + 7,\\ \mathrm{y} \ge -\mathrm{х} + 1?\end{array}\right.$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \le x, \\ y \ge 7 \end{cases} $

Первое неравенство $y \le x$ задает на координатной плоскости множество точек, которые лежат на прямой $y=x$ или ниже неё. Прямая $y=x$ является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Второе неравенство $y \ge 7$ задает множество точек, которые лежат на прямой $y=7$ или выше неё. Прямая $y=7$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 7)$.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей, то есть множество точек, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно.

Границами этой области являются лучи, лежащие на прямых $y=x$ и $y=7$. Найдем их точку пересечения, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x \\ y = 7 \end{cases} $

Отсюда получаем, что $x=7$ и $y=7$. Точка пересечения — $(7, 7)$.

Таким образом, искомая фигура — это угол, вершина которого находится в точке $(7, 7)$, а стороны являются лучами, выходящими из этой точки и лежащими на прямых $y=x$ (при $x \ge 7$) и $y=7$ (при $x \ge 7$). Область включает в себя и сами стороны угла.

Ответ: Система неравенств задает угол с вершиной в точке $(7, 7)$, стороны которого лежат на прямых $y=x$ и $y=7$.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \le -x + 7, \\ y \ge -x + 1 \end{cases} $

Первое неравенство $y \le -x + 7$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y=-x+7$ и ниже неё.

Второе неравенство $y \ge -x + 1$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y=-x+1$ и выше неё.

Рассмотрим граничные прямые $y = -x + 7$ и $y = -x + 1$. У обеих прямых одинаковый угловой коэффициент $k=-1$, следовательно, эти прямые параллельны.

Прямая $y = -x + 7$ пересекает ось ординат в точке $(0, 7)$, а прямая $y = -x + 1$ — в точке $(0, 1)$. Таким образом, прямая $y = -x + 7$ расположена выше прямой $y = -x + 1$.

Решением системы является множество точек, которые находятся одновременно ниже (или на) верхней прямой и выше (или на) нижней прямой. Эта область представляет собой полосу, заключенную между двумя параллельными прямыми. Поскольку неравенства нестрогие ($\le$ и $\ge$), сами прямые также включаются в искомую фигуру.

Ответ: Система неравенств задает полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = -x + 7$ и $y = -x + 1$, включая сами прямые.