Номер 1144, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1144, страница 227.

1144. Постройте прямую у = 13х. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:
$\mathrm{а}) \mathrm{у} >\frac{1}{3}\mathrm{х};$

$\mathrm{б}) \mathrm{у} <\frac{1}{3}\mathrm{х};$

Сначала построим прямую, заданную уравнением $y = \frac{1}{3}x$. Это линейная функция, график которой является прямой, проходящей через начало координат $(0, 0)$, так как свободный член равен нулю.

Для построения прямой достаточно найти координаты еще одной точки, принадлежащей ей. Например, при $x = 3$ получаем $y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$, что дает нам точку $(3, 1)$. Соединив точки $(0, 0)$ и $(3, 1)$, мы получим график прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Эта прямая делит всю координатную плоскость на две открытые полуплоскости. Поскольку в обоих неравенствах знак строгий ($>$ или $<$), сама прямая $y = \frac{1}{3}x$ не входит в множество решений. При построении ее следует изображать штриховой (пунктирной) линией.

а) $y > \frac{1}{3}x$

Неравенство $y > \frac{1}{3}x$ задает одну из двух полуплоскостей, на которые прямая $y = \frac{1}{3}x$ делит координатную плоскость. Чтобы определить, какая из полуплоскостей является решением, выберем произвольную контрольную точку, не лежащую на прямой, и проверим, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству. Возьмем, к примеру, точку $(0, 1)$, которая лежит на оси OY выше начала координат.

Подставим ее координаты ($x=0, y=1$) в неравенство:

$1 > \frac{1}{3} \cdot 0$

$1 > 0$

Полученное неравенство верное. Это означает, что точка $(0, 1)$ принадлежит искомому множеству. Точка $(0, 1)$ находится выше прямой $y = \frac{1}{3}x$. Следовательно, решением неравенства является вся открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{3}x$. Эту область следует заштриховать.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y > \frac{1}{3}x$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = \frac{1}{3}x$. Сама прямая в это множество не входит.

б) $y < \frac{1}{3}x$

Рассмотрим неравенство $y < \frac{1}{3}x$. Аналогично предыдущему пункту, это неравенство задает полуплоскость. Снова выберем контрольную точку, не лежащую на прямой $y = \frac{1}{3}x$. Возьмем, к примеру, точку $(3, 0)$, которая лежит на оси OX.

Подставим ее координаты ($x=3, y=0$) в неравенство:

$0 < \frac{1}{3} \cdot 3$

$0 < 1$

Полученное неравенство верное. Это означает, что точка $(3, 0)$ принадлежит искомому множеству. Точка $(3, 0)$ находится ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$. Следовательно, решением неравенства является вся открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$. Эту область следует заштриховать.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < \frac{1}{3}x$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$. Сама прямая в это множество не входит.