Номер 1145, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1145, страница 227.

1145. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, которое задаёт неравенство:
a) у ≥ x; б) у ≤ −x; в) х ≥ 1; г) у ≤ 5.

а) $y \ge x$

Чтобы показать на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством $y \ge x$, сначала необходимо построить граничную линию. Эта линия соответствует равенству $y = x$. Графиком этого уравнения является прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит, например, через точки (0, 0) и (1, 1).

Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), точки, лежащие на самой прямой $y=x$, также являются решениями. Поэтому граничную линию следует изобразить сплошной линией.

Прямая $y=x$ делит координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем произвольную контрольную точку, не лежащую на прямой. Например, возьмем точку с координатами (0, 2). Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$2 \ge 0$

Это верное неравенство. Следовательно, полуплоскость, в которой лежит точка (0, 2), является искомым множеством. Это полуплоскость, расположенная выше прямой $y=x$. Заштриховываем эту область.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $y \ge x$, представляет собой полуплоскость, расположенную выше прямой $y=x$, включая саму прямую.

б) $y \le -x$

Граничной линией для этого неравенства является прямая, заданная уравнением $y = -x$. Это биссектриса второго и четвертого координатных углов, проходящая через точки (0, 0) и (1, -1).

Так как неравенство нестрогое ($\le$), граничная прямая $y=-x$ включается в множество решений, и ее следует чертить сплошной линией.

Выберем контрольную точку, чтобы определить нужную полуплоскость. Возьмем точку (-1, -1). Подставим ее координаты в неравенство:

$-1 \le -(-1)$

$-1 \le 1$

Неравенство верно. Значит, нам нужна полуплоскость, содержащая точку (-1, -1). Это область, расположенная ниже прямой $y=-x$. Заштриховываем ее.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $y \le -x$, представляет собой полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=-x$, включая саму прямую.

в) $x \ge 1$

Граничной линией для неравенства $x \ge 1$ является прямая $x = 1$. Это вертикальная прямая, параллельная оси ординат (оси OY) и проходящая через точку (1, 0) на оси абсцисс.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сама прямая $x=1$ является частью решения, поэтому изображаем ее сплошной линией.

Неравенство $x \ge 1$ выполняется для всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) больше или равна 1. Такие точки расположены на самой прямой $x=1$ и справа от нее. Таким образом, нужно заштриховать всю полуплоскость справа от прямой $x=1$.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $x \ge 1$, представляет собой полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x=1$, включая саму прямую.

г) $y \le 5$

Граничной линией для неравенства $y \le 5$ является прямая $y = 5$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (оси OX) и проходящая через точку (0, 5) на оси ординат.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямая $y=5$ включается в множество решений и чертится сплошной линией.

Неравенство $y \le 5$ выполняется для всех точек, у которых ордината (координата $y$) меньше или равна 5. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные на самой прямой $y=5$ и ниже нее. Следовательно, необходимо заштриховать полуплоскость, находящуюся ниже прямой $y=5$.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $y \le 5$, представляет собой полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y=5$, включая саму прямую.