Номер 1, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1, страница 225.

1 Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Метод подстановки для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными — это алгоритм, который позволяет, выразив одну переменную через другую из одного уравнения, подставить это выражение во второе уравнение. В результате получается одно уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример:

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + y = 10 \end{cases} $$

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую из одного из уравнений.

Удобнее всего выражать ту переменную, коэффициент при которой равен 1 или -1, чтобы избежать появления дробей. В данной системе в первом уравнении коэффициент при $x$ равен 1, а во втором уравнении коэффициент при $y$ равен 1. Выразим переменную $x$ из первого уравнения: $x - 2y = 1 \implies x = 1 + 2y$

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение.

Теперь подставим полученное выражение $(1 + 2y)$ вместо переменной $x$ во второе уравнение системы $(3x + y = 10)$: $3(1 + 2y) + y = 10$

Шаг 3: Решить полученное уравнение с одной переменной.

Мы получили линейное уравнение, в котором есть только переменная $y$. Решим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $3 \cdot 1 + 3 \cdot 2y + y = 10$
$3 + 6y + y = 10$
$3 + 7y = 10$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения: $7y = 10 - 3$
$7y = 7$
$y = \frac{7}{7}$
$y = 1$

Шаг 4: Найти значение второй переменной.

Мы нашли значение $y = 1$. Теперь вернемся к выражению, полученному на первом шаге ($x = 1 + 2y$), и подставим в него найденное значение $y$, чтобы найти $x$: $x = 1 + 2 \cdot (1)$
$x = 1 + 2$
$x = 3$

Шаг 5: Записать ответ и выполнить проверку (рекомендуется).

Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(3; 1)$. Для уверенности в правильности решения подставим найденные значения в оба исходных уравнения системы.

Проверка: $$ \begin{cases} 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1 \\ 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 = 1 \\ 10 = 10 \end{cases} $$ Оба равенства верны, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(3; 1)$.