Номер 2, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 2, страница 225.

2 Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

Метод сложения для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы алгебраически сложить уравнения системы с целью исключить одну из переменных. Это делается путем преобразования одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. В результате получается одно уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере. Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\3x - y = 5\end{cases}$$

Шаг 1. Подготовка уравнений к сложению

Наша задача — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных, например, при $y$, стали противоположными числами. В первом уравнении коэффициент при $y$ равен $3$, а во втором $-1$. Чтобы получить противоположные коэффициенты ($3$ и $-3$), умножим все члены второго уравнения на $3$.

$(3x - y) \cdot 3 = 5 \cdot 3$

$9x - 3y = 15$

Теперь система имеет вид, удобный для сложения:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\9x - 3y = 15\end{cases}$$

Шаг 2. Сложение уравнений

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы. Переменная $y$ при этом будет исключена.

$(2x + 3y) + (9x - 3y) = 7 + 15$

Приводим подобные слагаемые:

$11x = 22$

Шаг 3. Решение полученного уравнения с одной переменной

Решим простое уравнение относительно $x$:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Шаг 4. Нахождение второй переменной

Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из изначальных уравнений системы, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение $3x - y = 5$, так как оно проще.

$3(2) - y = 5$

$6 - y = 5$

$-y = 5 - 6$

$-y = -1$

$y = 1$

Таким образом, мы нашли решение системы: пара чисел $(2; 1)$.

Шаг 5. Проверка решения

Для уверенности подставим найденные значения $x=2$ и $y=1$ в оба исходных уравнения.

Первое уравнение: $2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$. Равенство $7 = 7$ верно.

Второе уравнение: $3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$. Равенство $5 = 5$ верно.

Проверка подтверждает, что решение найдено правильно.

Ответ: $(2; 1)$