Номер 1143, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1143, страница 225.

1143. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой у = −х² − 6х − 11, расположены в нижней полуплоскости.

Для того чтобы доказать, что все точки графика функции $y = -x^2 - 6x - 11$ расположены в нижней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y$ является отрицательным, то есть $y < 0$.

Для доказательства преобразуем данное квадратичное выражение, выделив в нем полный квадрат.

Исходная функция: $y = -x^2 - 6x - 11$.

1. Вынесем знак минус за скобки, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $y = -(x^2 + 6x + 11)$.

2. Теперь в выражении $x^2 + 6x + 11$ выделим полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = 6x$, откуда $b=3$. Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$. Представим число $11$ в скобках как $9 + 2$: $y = -( (x^2 + 6x + 9) + 2 )$.

3. Выражение $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом $(x+3)^2$. Подставим это в нашу формулу: $y = -( (x+3)^2 + 2 )$.

4. Наконец, раскроем внешние скобки, поменяв знаки у слагаемых внутри: $y = -(x+3)^2 - 2$.

Теперь проанализируем полученное выражение $y = -(x+3)^2 - 2$.

- Выражение $(x+3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x+3)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

- Соответственно, выражение $-(x+3)^2$ всегда неположительно, то есть $-(x+3)^2 \le 0$. Его максимальное значение равно 0 и достигается при $x = -3$.

- Если из неположительного числа (максимум которого 0) вычесть 2, результат всегда будет строго отрицательным и не будет превышать $-2$. $y = -(x+3)^2 - 2 \le 0 - 2 = -2$.

Таким образом, мы доказали, что для любого действительного числа $x$ значение функции $y$ не превышает $-2$. Так как $-2 < 0$, то значение $y$ всегда отрицательно. Это означает, что все точки графика функции расположены ниже оси абсцисс ($y=0$), то есть находятся в нижней полуплоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. После преобразования функции к виду $y = -(x+3)^2 - 2$ становится очевидно, что ее максимальное значение равно $-2$. Следовательно, для любого $x$ значение $y$ является отрицательным, и все точки графика функции лежат в нижней полуплоскости.