Номер 1146, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1146, страница 227.

1146. Изобразите множество точек, которое задаёт на координатной плоскости неравенство:

а) у ≥ х + 1;
б) у < −0,2х + 3.

Чтобы изобразить множество точек, заданное неравенством, на координатной плоскости, нужно выполнить следующие шаги:

1. Построить граничную прямую, заменив в неравенстве знак неравенства на знак равенства.
2. Определить, какой тип линии использовать: сплошную (если неравенство нестрогое, т.е. $ \geq $ или $ \leq $) или пунктирную (если неравенство строгое, т.е. $ > $ или $ < $).
3. Выбрать контрольную точку, не лежащую на прямой (например, начало координат $(0, 0)$, если оно не на прямой), и подставить её координаты в исходное неравенство.
4. Если неравенство выполняется, то искомым множеством будет та полуплоскость, в которой лежит контрольная точка. Если не выполняется — то другая полуплоскость.

а) $y \geq x + 1$

1. Построение граничной прямой.
Уравнение граничной прямой: $y = x + 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдём две точки, принадлежащие ей.
Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
Если $y = 0$, то $0 = x + 1$, откуда $x = -1$. Получаем точку $(-1, 0)$.
Проводим через эти две точки прямую.

2. Определение типа линии.
Неравенство $y \geq x + 1$ является нестрогим (содержит знак "равно"). Это означает, что точки на самой прямой $y = x + 1$ являются частью решения. Поэтому прямую следует изобразить сплошной линией.

3. Определение искомой полуплоскости.
Возьмём контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим её координаты в исходное неравенство:
$0 \geq 0 + 1$
$0 \geq 1$
Это неверное утверждение. Следовательно, полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, не является решением. Решением является противоположная полуплоскость, то есть область, расположенная выше прямой $y = x + 1$.

Таким образом, искомое множество точек — это все точки на прямой $y = x + 1$ и все точки координатной плоскости, лежащие выше этой прямой.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \geq x + 1$, — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = x + 1$, включая саму прямую.

б) $y < -0,2x + 3$

1. Построение граничной прямой.
Уравнение граничной прямой: $y = -0,2x + 3$. Это также линейная функция. Найдём две точки для её построения.
Если $x = 0$, то $y = -0,2 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
Если $x = 5$, то $y = -0,2 \cdot 5 + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(5, 2)$.
Проводим через эти две точки прямую.

2. Определение типа линии.
Неравенство $y < -0,2x + 3$ является строгим (не содержит знака "равно"). Это означает, что точки на самой прямой $y = -0,2x + 3$ не входят в множество решений. Поэтому прямую следует изобразить пунктирной линией.

3. Определение искомой полуплоскости.
Возьмём в качестве контрольной точки начало координат $(0, 0)$, так как она не лежит на прямой. Подставим её координаты в исходное неравенство:
$0 < -0,2 \cdot 0 + 3$
$0 < 3$
Это верное утверждение. Следовательно, полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, является решением. Эта область расположена ниже прямой $y = -0,2x + 3$.

Таким образом, искомое множество точек — это все точки координатной плоскости, лежащие ниже прямой $y = -0,2x + 3$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < -0,2x + 3$, — это полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -0,2x + 3$, не включая саму прямую.