Номер 1152, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1152, страница 228.

1152. Укажите какие−либо значения k и b, при которых система неравенств

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \le 3\mathrm{х} + 2,\\ \mathrm{у} \ge \mathrm{kx} + \mathrm{b}\end{array}\right.$

задаёт на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.

a) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости полосу, ее граничные прямые $y = 3x + 2$ и $y = kx + b$ должны быть параллельны и не совпадать, а область решений не должна быть пустой. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой $y = 3x + 2$ равен $3$. Следовательно, угловой коэффициент второй прямой $k$ также должен быть равен $3$.

При $k=3$ система неравенств принимает вид: $$ \begin{cases} y \le 3x + 2 \\ y \ge 3x + b \end{cases} $$ Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x + b \le y \le 3x + 2$. Чтобы эта система задавала непустую полосу (а не линию или пустое множество), необходимо, чтобы прямая $y = 3x + b$ лежала строго ниже прямой $y = 3x + 2$. Это условие выполняется, если $b < 2$. Мы можем выбрать любые значения, удовлетворяющие этим условиям. Например, выберем $k=3$ и $b=0$.
Ответ: $k=3, b=0$.

б) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости угол, ее граничные прямые $y = 3x + 2$ и $y = kx + b$ должны пересекаться. Две прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны. Угловой коэффициент прямой $y = 3x + 2$ равен $3$. Следовательно, чтобы прямые пересекались, угловой коэффициент второй прямой $k$ не должен быть равен $3$, то есть $k \ne 3$. Значение $b$ может быть любым действительным числом, так как оно влияет только на параллельный сдвиг второй прямой и не меняет ее наклона. При $k \ne 3$ прямые будут пересекаться при любом значении $b$. Мы можем выбрать любые значения $k$ и $b$, удовлетворяющие условию $k \ne 3$. Например, выберем $k=1$ и $b=1$.
Ответ: $k=1, b=1$.