Страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1149. Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задаёт система неравенств:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \le -\mathrm{х},\\ \mathrm{y} \ge -5;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \ge \mathrm{х} - 2,\\ \mathrm{y} \le \mathrm{х} + 3;\end{array}\right.$

$\mathrm{в}) \left\{\begin{array}{c} \mathrm{y} \ge -2\mathrm{х} + 4,\\ \mathrm{y} \le \mathrm{х} + 1.\end{array}\right.$

а) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \le -x, \\ y \ge -5; \end{cases} $

Для того чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих этой системе, построим графики граничных прямых для каждого неравенства и определим соответствующие полуплоскости.

1. Первое неравенство: $y \le -x$. Граничная прямая — $y = -x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов. Она проходит через точки (0, 0) и (1, -1). Так как неравенство нестрогое ($ \le $), прямая рисуется сплошной линией, и точки на ней входят в решение. Неравенству $y \le -x$ удовлетворяют все точки, лежащие на прямой $y=-x$ и ниже неё.

2. Второе неравенство: $y \ge -5$. Граничная прямая — $y = -5$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -5) и параллельная оси Ox. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), прямая также рисуется сплошной линией. Неравенству $y \ge -5$ удовлетворяют все точки, лежащие на прямой $y=-5$ и выше неё.

3. Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это область, которая находится одновременно ниже прямой $y=-x$ и выше прямой $y=-5$.

Найдем точку пересечения граничных прямых, решив систему уравнений: $ \begin{cases} y = -x, \\ y = -5; \end{cases} $ Отсюда получаем $-x = -5$, то есть $x=5$. Точка пересечения — (5, -5).

Искомое множество точек — это угол с вершиной в точке (5, -5), ограниченный лучами, выходящими из этой точки и являющимися частями прямых $y=-x$ и $y=-5$.

Ответ: Множество точек представляет собой угол (бесконечную область), ограниченный сплошными лучами, которые являются частями прямых $y = -x$ и $y = -5$, с вершиной в точке их пересечения (5, -5).

б) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge x - 2, \\ y \le x + 3; \end{cases} $

1. Первое неравенство: $y \ge x - 2$. Граничная прямая — $y = x - 2$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки (0, -2) и (2, 0). Линия сплошная, так как неравенство нестрогое. Решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую.

2. Второе неравенство: $y \le x + 3$. Граничная прямая — $y = x + 3$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки (0, 3) и (-3, 0). Линия также сплошная. Решением является полуплоскость, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую.

3. Обе граничные прямые $y = x - 2$ и $y = x + 3$ имеют одинаковый угловой коэффициент $k=1$, следовательно, они параллельны.

Решением системы является пересечение указанных полуплоскостей — область, расположенная между этими двумя параллельными прямыми.

Ответ: Множество точек представляет собой полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 3$, включая сами прямые.

в) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge -2x + 4, \\ y \le x + 1. \end{cases} $

1. Первое неравенство: $y \ge -2x + 4$. Граничная прямая — $y = -2x + 4$. Это прямая, проходящая через точки (0, 4) и (2, 0). Линия сплошная, так как неравенство нестрогое. Решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую.

2. Второе неравенство: $y \le x + 1$. Граничная прямая — $y = x + 1$. Это прямая, проходящая через точки (0, 1) и (-1, 0). Линия также сплошная. Решением является полуплоскость, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую.

3. Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Найдем точку пересечения граничных прямых: $ \begin{cases} y = -2x + 4, \\ y = x + 1. \end{cases} $ Приравняем правые части: $-2x + 4 = x + 1$. Решая уравнение, получаем $3 = 3x$, откуда $x=1$. Подставив $x=1$ во второе уравнение, находим $y = 1 + 1 = 2$. Точка пересечения — (1, 2).

Искомое множество точек — это угол с вершиной в точке (1, 2), ограниченный лучами, выходящими из этой точки и являющимися частями прямых $y=-2x+4$ и $y=x+1$. Область находится "внутри" этого угла.

Ответ: Множество точек представляет собой угол (бесконечную область), ограниченный сплошными лучами, которые являются частями прямых $y = -2x + 4$ и $y = x + 1$, с вершиной в точке их пересечения (1, 2).

1150. Какую фигуру на координатной плоскости задаёт система неравенств:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \le х,\\ \mathrm{y} \ge 7;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c} \mathrm{y} \le -\mathrm{х} + 7,\\ \mathrm{y} \ge -\mathrm{х} + 1?\end{array}\right.$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \le x, \\ y \ge 7 \end{cases} $

Первое неравенство $y \le x$ задает на координатной плоскости множество точек, которые лежат на прямой $y=x$ или ниже неё. Прямая $y=x$ является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Второе неравенство $y \ge 7$ задает множество точек, которые лежат на прямой $y=7$ или выше неё. Прямая $y=7$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 7)$.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей, то есть множество точек, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно.

Границами этой области являются лучи, лежащие на прямых $y=x$ и $y=7$. Найдем их точку пересечения, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x \\ y = 7 \end{cases} $

Отсюда получаем, что $x=7$ и $y=7$. Точка пересечения — $(7, 7)$.

Таким образом, искомая фигура — это угол, вершина которого находится в точке $(7, 7)$, а стороны являются лучами, выходящими из этой точки и лежащими на прямых $y=x$ (при $x \ge 7$) и $y=7$ (при $x \ge 7$). Область включает в себя и сами стороны угла.

Ответ: Система неравенств задает угол с вершиной в точке $(7, 7)$, стороны которого лежат на прямых $y=x$ и $y=7$.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \le -x + 7, \\ y \ge -x + 1 \end{cases} $

Первое неравенство $y \le -x + 7$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y=-x+7$ и ниже неё.

Второе неравенство $y \ge -x + 1$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y=-x+1$ и выше неё.

Рассмотрим граничные прямые $y = -x + 7$ и $y = -x + 1$. У обеих прямых одинаковый угловой коэффициент $k=-1$, следовательно, эти прямые параллельны.

Прямая $y = -x + 7$ пересекает ось ординат в точке $(0, 7)$, а прямая $y = -x + 1$ — в точке $(0, 1)$. Таким образом, прямая $y = -x + 7$ расположена выше прямой $y = -x + 1$.

Решением системы является множество точек, которые находятся одновременно ниже (или на) верхней прямой и выше (или на) нижней прямой. Эта область представляет собой полосу, заключенную между двумя параллельными прямыми. Поскольку неравенства нестрогие ($\le$ и $\ge$), сами прямые также включаются в искомую фигуру.

Ответ: Система неравенств задает полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = -x + 7$ и $y = -x + 1$, включая сами прямые.

1151. Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств и найдите её площадь

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \le -0,5\mathrm{х} + 2,\\ \mathrm{х} \ge 0,\\ \mathrm{у} \ge 0,\end{array}\right.$

и найдите её площадь.

Для решения задачи необходимо сначала изобразить на координатной плоскости фигуру, заданную системой неравенств, а затем вычислить её площадь.

1. Изображение фигуры

Рассмотрим заданную систему неравенств:

$ \begin{cases} y \le -0,5x + 2, \\ x \ge 0, \\ y \ge 0. \end{cases} $

Неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ задают область, которая является первой координатной четвертью, включая её границы — положительные части осей Ox и Oy.

Теперь рассмотрим неравенство $y \le -0,5x + 2$. Границей этой области является прямая, заданная уравнением $y = -0,5x + 2$. Для построения этой прямой найдем точки ее пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, получаем $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью Oy — $(0; 2)$.
• При $y = 0$, получаем $0 = -0,5x + 2$, откуда $0,5x = 2$ и $x = 4$. Точка пересечения с осью Ox — $(4; 0)$.

Неравенство $y \le -0,5x + 2$ определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -0,5x + 2$, включая саму прямую, так как неравенство нестрогое.

Искомая фигура является пересечением всех трех областей. Это треугольник, ограниченный осями координат (прямыми $x=0$ и $y=0$) и отрезком прямой $y = -0,5x + 2$, соединяющим точки $(4; 0)$ и $(0; 2)$.

Ответ: Фигура, задаваемая системой неравенств, является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(0; 0)$, $(4; 0)$ и $(0; 2)$.

2. Нахождение площади фигуры

Как было установлено, фигура — это прямоугольный треугольник, прямой угол которого находится в начале координат $O(0; 0)$. Катеты этого треугольника лежат на осях координат.

Длина катета, лежащего на оси Ox, равна расстоянию от точки $(0; 0)$ до точки $(4; 0)$, то есть $a = 4$.

Длина катета, лежащего на оси Oy, равна расстоянию от точки $(0; 0)$ до точки $(0; 2)$, то есть $b = 2$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле половины произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставим значения длин катетов в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$

Ответ: Площадь фигуры равна 4 квадратным единицам.

1152. Укажите какие−либо значения k и b, при которых система неравенств

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \le 3\mathrm{х} + 2,\\ \mathrm{у} \ge \mathrm{kx} + \mathrm{b}\end{array}\right.$

задаёт на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.

a) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости полосу, ее граничные прямые $y = 3x + 2$ и $y = kx + b$ должны быть параллельны и не совпадать, а область решений не должна быть пустой. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой $y = 3x + 2$ равен $3$. Следовательно, угловой коэффициент второй прямой $k$ также должен быть равен $3$.

При $k=3$ система неравенств принимает вид: $$ \begin{cases} y \le 3x + 2 \\ y \ge 3x + b \end{cases} $$ Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x + b \le y \le 3x + 2$. Чтобы эта система задавала непустую полосу (а не линию или пустое множество), необходимо, чтобы прямая $y = 3x + b$ лежала строго ниже прямой $y = 3x + 2$. Это условие выполняется, если $b < 2$. Мы можем выбрать любые значения, удовлетворяющие этим условиям. Например, выберем $k=3$ и $b=0$.
Ответ: $k=3, b=0$.

б) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости угол, ее граничные прямые $y = 3x + 2$ и $y = kx + b$ должны пересекаться. Две прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны. Угловой коэффициент прямой $y = 3x + 2$ равен $3$. Следовательно, чтобы прямые пересекались, угловой коэффициент второй прямой $k$ не должен быть равен $3$, то есть $k \ne 3$. Значение $b$ может быть любым действительным числом, так как оно влияет только на параллельный сдвиг второй прямой и не меняет ее наклона. При $k \ne 3$ прямые будут пересекаться при любом значении $b$. Мы можем выбрать любые значения $k$ и $b$, удовлетворяющие условию $k \ne 3$. Например, выберем $k=1$ и $b=1$.
Ответ: $k=1, b=1$.

1153. Является ли решением уравнения х² − 2у = 1 пара значений переменных х и y:
а) (5; 8); б) (−4; −11,5); в)(−1; −3); г) (1,2; −2,78)?

Чтобы определить, является ли пара значений $(x; y)$ решением уравнения $x^2 - 2y = 7$, необходимо подставить эти значения в уравнение. Если получится верное числовое равенство, то пара является решением, в противном случае — нет.

а) Проверим пару значений $(5; 8)$.
Подставим $x = 5$ и $y = 8$ в левую часть уравнения:
$x^2 - 2y = 5^2 - 2 \cdot 8 = 25 - 16 = 9$.
Сравним результат с правой частью уравнения: $9 \neq 7$.
Равенство неверное, следовательно, пара $(5; 8)$ не является решением уравнения.
Ответ: нет.

б) Проверим пару значений $(-4; -11,5)$.
Подставим $x = -4$ и $y = -11,5$ в левую часть уравнения:
$x^2 - 2y = (-4)^2 - 2 \cdot (-11,5) = 16 + 23 = 39$.
Сравним результат с правой частью уравнения: $39 \neq 7$.
Равенство неверное, следовательно, пара $(-4; -11,5)$ не является решением уравнения.
Ответ: нет.

в) Проверим пару значений $(-1; -3)$.
Подставим $x = -1$ и $y = -3$ в левую часть уравнения:
$x^2 - 2y = (-1)^2 - 2 \cdot (-3) = 1 + 6 = 7$.
Сравним результат с правой частью уравнения: $7 = 7$.
Равенство верное, следовательно, пара $(-1; -3)$ является решением уравнения.
Ответ: да.

г) Проверим пару значений $(1,2; -2,78)$.
Подставим $x = 1,2$ и $y = -2,78$ в левую часть уравнения:
$x^2 - 2y = (1,2)^2 - 2 \cdot (-2,78) = 1,44 + 5,56 = 7$.
Сравним результат с правой частью уравнения: $7 = 7$.
Равенство верное, следовательно, пара $(1,2; -2,78)$ является решением уравнения.
Ответ: да.

1154. Составьте уравнение с переменными u и v, решением которого служит пара чисел вида (u; v):
а) (10; 3); б) (0; −7); в) (0,6; −0,8); г) (−1,4; −3,6).

а) Чтобы составить уравнение, решением которого является пара чисел $(10; 3)$, нужно найти такое соотношение между переменными $u$ и $v$, которое превращается в верное равенство при подстановке $u=10$ и $v=3$. Существует бесконечное множество таких уравнений. Самый простой способ — это составить линейное уравнение. Например, найдем сумму значений переменных:
$u + v = 10 + 3 = 13$
Таким образом, мы получаем уравнение $u+v=13$.
Проверим, подставив значения в уравнение: $10 + 3 = 13$. Равенство верное.

Ответ: $u+v=13$.

б) Для пары чисел $(0; -7)$ имеем $u=0$ и $v=-7$. Составим уравнение, аналогичное предыдущему пункту. Найдем сумму переменных:
$u + v = 0 + (-7) = -7$
Получаем уравнение $u+v=-7$.
Проверка: $0 + (-7) = -7$. Равенство верное.
Другим простым примером могло бы быть уравнение $v=-7$, так как значение $u$ равно нулю.

Ответ: $u+v=-7$.

в) Для пары чисел $(0,6; -0,8)$ имеем $u=0,6$ и $v=-0,8$. Можно действовать так же, как и ранее:
$u + v = 0,6 + (-0,8) = -0,2$
Это дает нам уравнение $u+v=-0,2$.
Чтобы избавиться от дробных чисел, можно найти другую комбинацию. Попробуем подобрать такие целые коэффициенты $a$ и $b$ для уравнения $au+bv=c$, чтобы и $c$ получилось целым. Например, найдем комбинацию, равную нулю:
$a \cdot 0,6 + b \cdot (-0,8) = 0 \implies 0,6a = 0,8b$
Умножим обе части на 10: $6a=8b$, или $3a=4b$. Самые простые целые числа, удовлетворяющие этому равенству, — это $a=4$ и $b=3$.
Таким образом, получаем уравнение $4u+3v=0$.
Проверка: $4 \cdot 0,6 + 3 \cdot (-0,8) = 2,4 - 2,4 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $4u+3v=0$.

г) Для пары чисел $(-1,4; -3,6)$ имеем $u=-1,4$ и $v=-3,6$. Найдем сумму переменных, так как это часто приводит к простому уравнению:
$u + v = (-1,4) + (-3,6) = -5$
Получаем уравнение $u+v=-5$, которое имеет целую правую часть.
Проверка: $-1,4 - 3,6 = -5$. Равенство верное.

Ответ: $u+v=-5$.

1155. Докажите, что если в уравнении ах + by = 81 коэффициенты а и b − целые числа, то пара чисел (15; 40) не может быть решением этого уравнения.

Для того чтобы доказать утверждение, воспользуемся методом от противного.

Предположим, что пара чисел $(15; 40)$ является решением уравнения $ax + by = 81$ при некоторых целых коэффициентах $a$ и $b$. Это означает, что при подстановке $x=15$ и $y=40$ в уравнение мы получим верное равенство: $$a \cdot 15 + b \cdot 40 = 81$$ $$15a + 40b = 81$$

Рассмотрим левую часть равенства, $15a + 40b$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15 и 40. Так как $15 = 3 \cdot 5$ и $40 = 8 \cdot 5$, то НОД(15, 40) = 5. Вынесем этот общий множитель за скобки: $$5(3a + 8b) = 81$$

По условию, $a$ и $b$ — целые числа. Следовательно, выражение в скобках $(3a + 8b)$, как результат операций сложения и умножения над целыми числами, также является целым числом. Обозначим его как $k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда уравнение примет вид: $$5k = 81$$

Это равенство означает, что левая часть ($5k$) должна быть кратна 5, поскольку является произведением целого числа на 5. Однако правая часть равна 81. Число 81 не делится на 5 нацело ($81 \div 5 = 16.2$).

Таким образом, мы пришли к противоречию: левая часть равенства делится на 5, а правая — нет. Такое равенство не может быть верным для целых $a$ и $b$. Наше первоначальное предположение было ошибочным.

Ответ: Пара чисел (15; 40) не может быть решением уравнения $ax + by = 81$, если коэффициенты $a$ и $b$ — целые числа, что и требовалось доказать.

1156. Известно, что:
а) пара значений переменных x = 5, у = 7 является решением уравнения ах − 2у = 1. Найдите коэффициент а;
б) пара значений переменных x = −3, у = 8 является решением уравнения 5x + by = 17. Найдите коэффициент b.

а)

По условию, пара значений переменных $x = 5, y = 7$ является решением уравнения $ax - 2y = 1$. Это означает, что если подставить эти значения в уравнение, получится верное равенство. Сделаем подстановку, чтобы найти неизвестный коэффициент $a$.

Подставим $x = 5$ и $y = 7$ в исходное уравнение:
$a \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 1$

Выполним умножение:
$5a - 14 = 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$. Перенесем $-14$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$5a = 1 + 14$
$5a = 15$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 5:
$a = \frac{15}{5}$
$a = 3$

Ответ: 3.

б)

Аналогично, известно, что пара значений $x = -3, y = 8$ является решением уравнения $5x + by = 17$. Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти коэффициент $b$.

Подставим $x = -3$ и $y = 8$ в уравнение:
$5 \cdot (-3) + b \cdot 8 = 17$

Выполним умножение:
$-15 + 8b = 17$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$. Перенесем $-15$ в правую часть уравнения:
$8b = 17 + 15$
$8b = 32$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на 8:
$b = \frac{32}{8}$
$b = 4$

Ответ: 4.