Страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1200. Найдите все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а − 1)х = 12 является натуральным числом.

Согласно условию задачи, нам дано уравнение $(a - 1)x = 12$, где и параметр $a$, и корень уравнения $x$ должны быть натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа ($a, x \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Чтобы найти корень $x$, выразим его из уравнения. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на множитель $(a-1)$. Эта операция возможна только если $(a-1) \neq 0$.

Рассмотрим случай, когда $a-1 = 0$, то есть $a=1$. Так как $a$ — натуральное число, это значение является допустимым для рассмотрения. Подставив $a=1$ в уравнение, получаем:
$(1 - 1)x = 12$
$0 \cdot x = 12$
$0 = 12$
Это равенство неверно, следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет решений. Таким образом, значение $a=1$ не подходит.

Поскольку $a$ — натуральное число и $a \neq 1$, то $a$ может принимать значения $2, 3, 4, \dots$. При таких значениях $a$ выражение $(a-1)$ не равно нулю, и мы можем выразить $x$:
$x = \frac{12}{a - 1}$

По условию, $x$ должен быть натуральным числом. Это означает, что результат деления $12$ на $(a-1)$ должен быть целым положительным числом.

Поскольку $a \ge 2$, то знаменатель $a-1 \ge 1$. Это значит, что знаменатель $(a-1)$ всегда является натуральным числом. Следовательно, частное $\frac{12}{a-1}$ всегда будет положительным.

Чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы знаменатель $(a-1)$ был натуральным делителем числа 12.

Найдем все натуральные делители числа 12. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Теперь приравняем выражение $(a-1)$ к каждому из найденных делителей и определим соответствующие значения $a$:
1. Если $a - 1 = 1$, то $a = 2$. При этом $x = \frac{12}{1} = 12$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
2. Если $a - 1 = 2$, то $a = 3$. При этом $x = \frac{12}{2} = 6$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
3. Если $a - 1 = 3$, то $a = 4$. При этом $x = \frac{12}{3} = 4$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
4. Если $a - 1 = 4$, то $a = 5$. При этом $x = \frac{12}{4} = 3$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
5. Если $a - 1 = 6$, то $a = 7$. При этом $x = \frac{12}{6} = 2$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
6. Если $a - 1 = 12$, то $a = 13$. При этом $x = \frac{12}{12} = 1$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.

Мы нашли все возможные натуральные значения $a$, при которых корень уравнения $x$ также является натуральным числом.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 7, 13.

1201. Решите уравнение:

Уравнение с модулем $|x - 3| = 7$ означает, что выражение под знаком модуля, $x - 3$, должно быть равно либо 7, либо -7. Это приводит к двум возможным уравнениям.

1) Рассматриваем первый случай, когда выражение под модулем положительно или равно нулю:
$x - 3 = 7$
Переносим -3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = 7 + 3$
$x_1 = 10$

2) Рассматриваем второй случай, когда выражение под модулем отрицательно:
$x - 3 = -7$
Переносим -3 в правую часть уравнения:
$x = -7 + 3$
$x_2 = -4$
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -4; 10.

Уравнение $|x + 2| = 9$ решается аналогично. Выражение $x + 2$ должно быть равно 9 или -9.

1) Первый случай:
$x + 2 = 9$
$x = 9 - 2$
$x_1 = 7$

2) Второй случай:
$x + 2 = -9$
$x = -9 - 2$
$x_2 = -11$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: -11; 7.

Для уравнения $|4 - x| = 1,5$ выражение $4 - x$ должно быть равно 1,5 или -1,5.

1) Первый случай:
$4 - x = 1,5$
$-x = 1,5 - 4$
$-x = -2,5$
$x_1 = 2,5$

2) Второй случай:
$4 - x = -1,5$
$-x = -1,5 - 4$
$-x = -5,5$
$x_2 = 5,5$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: 2,5; 5,5.

Для уравнения $|6 - x| = 7,3$ выражение $6 - x$ должно быть равно 7,3 или -7,3.

1) Первый случай:
$6 - x = 7,3$
$-x = 7,3 - 6$
$-x = 1,3$
$x_1 = -1,3$

2) Второй случай:
$6 - x = -7,3$
$-x = -7,3 - 6$
$-x = -13,3$
$x_2 = 13,3$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: -1,3; 13,3.

1202. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая − с пятой и третья − с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Пусть наше шестизначное число $N$ состоит из цифр $a, b, c, d, e, f$. Его можно записать в виде $\overline{abcdef}$.

По условию задачи первая цифра совпадает с четвёртой ($a=d$), вторая — с пятой ($b=e$), а третья — с шестой ($c=f$). Это означает, что число имеет вид $\overline{abcabc}$. Поскольку число шестизначное, первая цифра $a$ не может быть нулём.

Представим это число в виде суммы его разрядных слагаемых:

$N = a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$

$N = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми цифрами ($a, b, c$):

$N = (100000a + 100a) + (10000b + 10b) + (1000c + c)$

$N = 100100a + 10010b + 1001c$

Теперь вынесем за скобки общий множитель 1001:

$N = 1001 \cdot (100a + 10b + c)$

Выражение в скобках $100a + 10b + c$ — это не что иное, как трёхзначное число $\overline{abc}$. Таким образом, наше шестизначное число можно представить в виде произведения:

$N = 1001 \cdot \overline{abc}$

Чтобы доказать, что число $N$ кратно 7, 11 и 13, достаточно показать, что множитель 1001 делится на эти числа. Проверим это, вычислив их произведение:

$7 \cdot 11 \cdot 13 = 77 \cdot 13 = 1001$

Поскольку $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, мы можем переписать формулу для числа $N$ следующим образом:

$N = (7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot \overline{abc}$

Из этого равенства видно, что число $N$ является произведением трёхзначного числа $\overline{abc}$ и чисел 7, 11 и 13. Следовательно, $N$ всегда будет делиться нацело на 7, на 11 и на 13.

Ответ: Утверждение доказано. Любое число вида $\overline{abcabc}$ можно представить как произведение $1001 \cdot \overline{abc}$. Так как $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, то число $\overline{abcabc}$ всегда кратно 7, 11 и 13.

1203. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, затем увеличилось на 10%, а во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?

Для решения задачи обозначим первоначальное количество воды в каждой бочке переменной $x$. Поскольку по условию в бочках было воды поровну, это значение является одинаковым для обеих.

Рассмотрим изменения в первой бочке. Сначала количество воды уменьшилось на 10%. Это означает, что в бочке осталось $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначального объема. Чтобы найти новое количество, умножим исходный объем на коэффициент 0,9. Количество воды стало: $x \times (1 - 0,1) = 0,9x$.
Затем новое количество воды ($0,9x$) увеличилось на 10%. Увеличение на 10% соответствует умножению на коэффициент 1,1. Итоговое количество воды в первой бочке: $(0,9x) \times 1,1 = 0,99x$.

Теперь рассмотрим изменения во второй бочке. Сначала количество воды увеличилось на 10%. Это означает, что объем воды стал $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначального. Умножим исходный объем на коэффициент 1,1. Количество воды стало: $x \times (1 + 0,1) = 1,1x$.
Затем это новое количество ($1,1x$) уменьшилось на 10%. Уменьшение на 10% соответствует умножению на коэффициент 0,9. Итоговое количество воды во второй бочке: $(1,1x) \times 0,9 = 0,99x$.

Сравнивая итоговые объемы воды, мы видим, что в первой бочке стало $0,99x$ воды и во второй бочке стало $0,99x$ воды. Так как $0,99x = 0,99x$, количество воды в бочках в итоге оказалось одинаковым.

Ответ: В обеих бочках стало воды поровну.

1204. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы − 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

Для решения этой задачи необходимо исходить из того, что в процессе сушки грибов испаряется только вода, а масса "сухого вещества" остается постоянной.

1. Сначала определим массу сухого вещества в 11 кг свежих грибов. Поскольку свежие грибы содержат 90% воды, доля сухого вещества в них составляет:
$100\% - 90\% = 10\%$
Теперь вычислим массу этого сухого вещества в 11 кг свежих грибов:
$11 \text{ кг} \times \frac{10}{100} = 11 \text{ кг} \times 0.1 = 1.1 \text{ кг}$

2. Эта масса сухого вещества (1.1 кг) полностью сохраняется и в сухих грибах. В сухих грибах, по условию, содержится 12% воды. Следовательно, доля сухого вещества в них составляет:
$100\% - 12\% = 88\%$

3. Теперь мы знаем, что 1.1 кг сухого вещества — это 88% от общей массы сухих грибов. Пусть $x$ — это искомая масса сухих грибов. Тогда можно составить уравнение:
$0.88 \cdot x = 1.1 \text{ кг}$
Выразим из него $x$:
$x = \frac{1.1}{0.88} = \frac{110}{88} = \frac{5}{4} = 1.25 \text{ кг}$

Ответ: из 11 кг свежих грибов получится 1.25 кг сухих.

1205. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике орехов на 10% больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

Обозначим количество орехов в первом ящике как $x$, во втором — как $y$, и в третьем — как $z$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
1. Во втором ящике орехов на 10% больше, чем в первом. Это означает, что количество орехов во втором ящике составляет 110% от количества в первом:
$y = x + 0.1x = 1.1x$

2. Во втором ящике орехов на 30% больше, чем в третьем. Это означает, что количество орехов во втором ящике составляет 130% от количества в третьем:
$y = z + 0.3z = 1.3z$

3. В первом ящике на 80 орехов больше, чем в третьем:
$x = z + 80$

Получаем следующую систему уравнений:
$\begin{cases} y = 1.1x \\ y = 1.3z \\ x = z + 80 \end{cases}$

Так как левые части первых двух уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:
$1.1x = 1.3z$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $x$ из третьего уравнения ($x = z + 80$):
$1.1(z + 80) = 1.3z$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $z$:
$1.1z + 1.1 \cdot 80 = 1.3z$
$1.1z + 88 = 1.3z$
$1.3z - 1.1z = 88$
$0.2z = 88$
$z = \frac{88}{0.2} = \frac{880}{2} = 440$
Таким образом, в третьем ящике 440 орехов.

Зная $z$, найдем количество орехов в первом и втором ящиках.
Количество орехов в первом ящике:
$x = z + 80 = 440 + 80 = 520$
Количество орехов во втором ящике:
$y = 1.1x = 1.1 \cdot 520 = 572$

Проверим значение $y$ через $z$: $y = 1.3z = 1.3 \cdot 440 = 572$. Все верно.

Ответ: в первом ящике 520 орехов, во втором — 572 ореха, в третьем — 440 орехов.