Страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1186. Решите систему уравнений:

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{5} = 1 - \frac{y}{15} \\ 2x - 5y = 0 \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение. Для этого умножим обе его части на 15 (наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 15), чтобы избавиться от дробей:

$ 15 \cdot \frac{x}{5} = 15 \cdot 1 - 15 \cdot \frac{y}{15} $

$ 3x = 15 - y $

Перенесем $y$ в левую часть:

$ 3x + y = 15 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 3x + y = 15 \\ 2x - 5y = 0 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$ y = 15 - 3x $

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$ 2x - 5(15 - 3x) = 0 $

$ 2x - 75 + 15x = 0 $

$ 17x = 75 $

$ x = \frac{75}{17} $

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 15 - 3x$:

$ y = 15 - 3 \cdot \frac{75}{17} = \frac{15 \cdot 17}{17} - \frac{225}{17} = \frac{255 - 225}{17} = \frac{30}{17} $

Ответ: $(\frac{75}{17}; \frac{30}{17})$.

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, умножив его на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5):

$ 20 \cdot \frac{m}{4} + 20 \cdot \frac{3n}{5} = 20 \cdot 1 $

$ 5m + 12n = 20 $

Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ 5m + 12n = 20 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -3:

$ \begin{cases} 15m + 25n = 5 \\ -15m - 36n = -60 \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$ (15m + 25n) + (-15m - 36n) = 5 + (-60) $

$ -11n = -55 $

$ n = 5 $

Подставим найденное значение $n$ в первое исходное уравнение $3m + 5n = 1$:

$ 3m + 5 \cdot 5 = 1 $

$ 3m + 25 = 1 $

$ 3m = -24 $

$ m = -8 $

Ответ: $(-8; 5)$.

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ \frac{2x + 1}{6} = \frac{9 - 5y}{8} \end{cases} $

Упростим второе уравнение, используя основное свойство пропорции (или умножив обе части на 24, наименьшее общее кратное для 6 и 8):

$ 8(2x + 1) = 6(9 - 5y) $

Можно разделить обе части на 2, чтобы упростить вычисления:

$ 4(2x + 1) = 3(9 - 5y) $

$ 8x + 4 = 27 - 15y $

$ 8x + 15y = 23 $

Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases} $

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 5:

$ \begin{cases} 20x - 15y = 5 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$ (20x - 15y) + (8x + 15y) = 5 + 23 $

$ 28x = 28 $

$ x = 1 $

Подставим $x = 1$ в первое исходное уравнение $4x - 3y = 1$:

$ 4 \cdot 1 - 3y = 1 $

$ 4 - 3y = 1 $

$ -3y = -3 $

$ y = 1 $

Ответ: $(1; 1)$.

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3q = 4p - 7 \\ \frac{1 - 3q}{4} = \frac{4 - 2p}{3} \end{cases} $

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ap + Bq = C$.

Первое уравнение: $ 4p - 3q = 7 $.

Упростим второе уравнение, умножив обе части на 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3):

$ 3(1 - 3q) = 4(4 - 2p) $

$ 3 - 9q = 16 - 8p $

$ 8p - 9q = 13 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 4p - 3q = 7 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases} $

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на -2:

$ \begin{cases} -8p + 6q = -14 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$ (-8p + 6q) + (8p - 9q) = -14 + 13 $

$ -3q = -1 $

$ q = \frac{1}{3} $

Подставим $q = \frac{1}{3}$ в уравнение $4p - 3q = 7$:

$ 4p - 3 \cdot \frac{1}{3} = 7 $

$ 4p - 1 = 7 $

$ 4p = 8 $

$ p = 2 $

Ответ: $(2; \frac{1}{3})$.

1187. Найдите решение системы уравнений:

$a) \left\{\begin{array}{l}{(x - 1)}^2 - {(x + 2)}^2 = 9y,\\ {(y - 3)}^2 - {(y + 2)}^2 = 5x;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}{(7 + u)}^2 - {(5 + u)}^2 = 6\nu ,\\ {(2 - \nu )}^2 - {(6 - \nu )}^2 = 4u.\end{array}\right.$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 9y \\ (y - 3)^2 - (y + 2)^2 = 5x \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Для первого уравнения:

$((x - 1) - (x + 2)) \cdot ((x - 1) + (x + 2)) = 9y$

$(x - 1 - x - 2) \cdot (x - 1 + x + 2) = 9y$

$(-3) \cdot (2x + 1) = 9y$

$-6x - 3 = 9y$

Разделим обе части уравнения на 3:

$-2x - 1 = 3y$

Для второго уравнения:

$((y - 3) - (y + 2)) \cdot ((y - 3) + (y + 2)) = 5x$

$(y - 3 - y - 2) \cdot (y - 3 + y + 2) = 5x$

$(-5) \cdot (2y - 1) = 5x$

$-10y + 5 = 5x$

Разделим обе части уравнения на 5:

$-2y + 1 = x$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} -2x - 1 = 3y \\ x = 1 - 2y \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$-2(1 - 2y) - 1 = 3y$

$-2 + 4y - 1 = 3y$

$4y - 3 = 3y$

$4y - 3y = 3$

$y = 3$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 3$ во второе уравнение:

$x = 1 - 2(3)$

$x = 1 - 6$

$x = -5$

Решение системы: $(-5; 3)$.

Ответ: $(-5; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (7 + u)^2 - (5 + u)^2 = 6v \\ (2 - v)^2 - (6 - v)^2 = 4u \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы, используя ту же формулу разности квадратов.

Для первого уравнения:

$((7 + u) - (5 + u)) \cdot ((7 + u) + (5 + u)) = 6v$

$(7 + u - 5 - u) \cdot (7 + u + 5 + u) = 6v$

$(2) \cdot (12 + 2u) = 6v$

$24 + 4u = 6v$

Разделим обе части уравнения на 2:

$12 + 2u = 3v$

Для второго уравнения:

$((2 - v) - (6 - v)) \cdot ((2 - v) + (6 - v)) = 4u$

$(2 - v - 6 + v) \cdot (2 - v + 6 - v) = 4u$

$(-4) \cdot (8 - 2v) = 4u$

$-32 + 8v = 4u$

Разделим обе части уравнения на 4:

$-8 + 2v = u$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 12 + 2u = 3v \\ u = 2v - 8 \end{cases}$

Подставим выражение для $u$ из второго уравнения в первое:

$12 + 2(2v - 8) = 3v$

$12 + 4v - 16 = 3v$

$4v - 4 = 3v$

$4v - 3v = 4$

$v = 4$

Теперь найдем значение $u$, подставив $v = 4$ во второе уравнение:

$u = 2(4) - 8$

$u = 8 - 8$

$u = 0$

Решение системы: $(0; 4)$.

Ответ: $(0; 4)$.

1188. Решите систему уравнений:

а) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 8x + 5y = 20 \\ 1.6x + 2y = 0 \end{cases} $
Для решения используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$2y = -1.6x$
$y = \frac{-1.6x}{2}$
$y = -0.8x$
Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$8x + 5(-0.8x) = 20$
$8x - 4x = 20$
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Теперь найдем значение $y$, подставив значение $x=5$ в выражение $y = -0.8x$:
$y = -0.8 \cdot 5$
$y = -4$
Таким образом, решение системы - пара чисел $(5; -4)$.
Ответ: $(5; -4)$

б) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{7}x - \frac{1}{13}y = 1 \\ 13x - 7y = 5 \end{cases} $
Умножим обе части первого уравнения на $91$ (наименьшее общее кратное чисел 7 и 13), чтобы избавиться от дробей:
$91 \cdot \frac{1}{7}x - 91 \cdot \frac{1}{13}y = 91 \cdot 1$
$13x - 7y = 91$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 13x - 7y = 91 \\ 13x - 7y = 5 \end{cases} $
Мы видим, что левые части уравнений одинаковы, а правые части различны ($91 \neq 5$). Это означает, что система несовместна и не имеет решений. Если вычесть второе уравнение из первого, получим неверное равенство:
$(13x - 7y) - (13x - 7y) = 91 - 5$
$0 = 86$
Так как $0 \neq 86$, система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

в) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} -1.8x + 2.4y = 1 \\ 3x - 4y = 5 \end{cases} $
Для удобства умножим первое уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$-18x + 24y = 10$
Система примет вид: $ \begin{cases} -18x + 24y = 10 \\ 3x - 4y = 5 \end{cases} $
Теперь умножим второе уравнение на 6, чтобы коэффициенты при $x$ и $y$ стали противоположными коэффициентам в первом уравнении:
$6 \cdot (3x - 4y) = 6 \cdot 5$
$18x - 24y = 30$
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы ($-18x + 24y = 10$):
$(-18x + 24y) + (18x - 24y) = 10 + 30$
$0 = 40$
Получили неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: нет решений.

г) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{1}{8}y = \frac{1}{2} \\ -16x + 3y = 12 \end{cases} $
Умножим обе части первого уравнения на $24$ (наименьшее общее кратное чисел 3, 8 и 2), чтобы избавиться от дробей:
$24 \cdot \frac{2}{3}x - 24 \cdot \frac{1}{8}y = 24 \cdot \frac{1}{2}$
$8 \cdot 2x - 3 \cdot y = 12$
$16x - 3y = 12$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 16x - 3y = 12 \\ -16x + 3y = 12 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(16x - 3y) + (-16x + 3y) = 12 + 12$
$0 = 24$
Получили неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: нет решений.

1189. Имеет ли решения система уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x} - 4\mathrm{y} = 1,\\ 3\mathrm{x} + \mathrm{y} = 13,\\ 7\mathrm{x} - 5\mathrm{y} =1;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{l}11\mathrm{x} + 3\mathrm{y} = 1,\\ 2\mathrm{x} + \mathrm{y} = 3,\\ 5\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 4?\end{array}\right.$

Чтобы определить, имеет ли система из трех уравнений с двумя переменными решение, нужно найти решение системы, состоящей из любых двух уравнений, и затем проверить, удовлетворяет ли найденная пара значений $(x, y)$ третьему уравнению.

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x - 4y = 1 \quad (1) \\ 3x + y = 13 \quad (2) \\ 7x - 5y = 1 \quad (3) \end{cases} $$

Решим систему, составленную из первого и третьего уравнений. Это удобно, так как их правые части равны:

$$ \begin{cases} 5x - 4y = 1 \\ 7x - 5y = 1 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$5x - 4y = 7x - 5y$

$5y - 4y = 7x - 5x$

$y = 2x$

Теперь подставим выражение $y = 2x$ в первое уравнение ($5x - 4y = 1$):

$5x - 4(2x) = 1$

$5x - 8x = 1$

$-3x = 1$

$x = -\frac{1}{3}$

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 2x = 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$

Таким образом, решением системы из уравнений (1) и (3) является пара чисел $(-\frac{1}{3}; -\frac{2}{3})$.

Теперь выполним проверку, подставив эти значения во второе уравнение системы ($3x + y = 13$):

$3 \cdot (-\frac{1}{3}) + (-\frac{2}{3}) = -1 - \frac{2}{3} = -1\frac{2}{3}$

Мы получили, что $-1\frac{2}{3} = 13$, что является неверным равенством. Следовательно, найденное решение не удовлетворяет второму уравнению.

Ответ: система не имеет решений.

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 11x + 3y = 1 \quad (1) \\ 2x + y = 3 \quad (2) \\ 5x + 2y = 4 \quad (3) \end{cases} $$

Аналогично предыдущему пункту, решим систему из двух уравнений. Возьмем второе и третье уравнения:

$$ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ 5x + 2y = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 3 - 2x$

Подставим это выражение в третье уравнение ($5x + 2y = 4$):

$5x + 2(3 - 2x) = 4$

$5x + 6 - 4x = 4$

$x + 6 = 4$

$x = -2$

Теперь найдем значение $y$:

$y = 3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7$

Решением системы из уравнений (2) и (3) является пара чисел $(-2; 7)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы ($11x + 3y = 1$):

$11(-2) + 3(7) = -22 + 21 = -1$

Мы получили, что $-1 = 1$, что является неверным равенством. Следовательно, найденное решение не удовлетворяет первому уравнению.

Ответ: система не имеет решений.

1190. Проходят ли прямые 2х + 3у = 20, 3х − 5у = 11 и х + у = 9 через одну и ту же точку?

Чтобы определить, проходят ли три прямые через одну и ту же точку, необходимо найти точку пересечения любых двух из этих прямых, а затем проверить, принадлежит ли найденная точка третьей прямой.

Возьмем первые два уравнения и найдем точку пересечения соответствующих им прямых, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 20 \\ 3x - 5y = 11 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе — на 3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 5 \cdot (2x + 3y) = 5 \cdot 20 \\ 3 \cdot (3x - 5y) = 3 \cdot 11 \end{cases} \implies \begin{cases} 10x + 15y = 100 \\ 9x - 15y = 33 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

$(10x + 15y) + (9x - 15y) = 100 + 33$

$19x = 133$

$x = \frac{133}{19}$

$x = 7$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$2(7) + 3y = 20$

$14 + 3y = 20$

$3y = 20 - 14$

$3y = 6$

$y = \frac{6}{3}$

$y = 2$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(7; 2)$.

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой, заданной уравнением $x + y = 9$. Для этого подставим координаты точки $(7; 2)$ в это уравнение:

$7 + 2 = 9$

$9 = 9$

Полученное равенство является верным. Это означает, что точка $(7; 2)$ лежит и на третьей прямой.

Следовательно, все три прямые проходят через одну и ту же точку.

Ответ: Да, проходят.

1191. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки:
а) А(1; 2) и В(−2; 3);
б) М(−5; 0) и К(2; −1).

а)

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член. Поскольку график функции проходит через точки A(1; 2) и B(-2; 3), их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты каждой точки в это уравнение, чтобы получить систему уравнений для нахождения коэффициентов $k$ и $b$.

Для точки A(1; 2): $2 = k \cdot 1 + b \implies k + b = 2$.

Для точки B(-2; 3): $3 = k \cdot (-2) + b \implies -2k + b = 3$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = 3 \end{cases}$

Чтобы решить систему, можно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить $b$ и найти $k$:
$(k + b) - (-2k + b) = 2 - 3$
$k + b + 2k - b = -1$
$3k = -1$
$k = -\frac{1}{3}$

Теперь подставим найденное значение $k$ в первое уравнение ($k + b = 2$), чтобы найти $b$:
$-\frac{1}{3} + b = 2$
$b = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{7}{3}$. Подставив их в общую формулу, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$

б)

Аналогично, для нахождения формулы функции $y = kx + b$, график которой проходит через точки M(-5; 0) и K(2; -1), составим систему уравнений.

Для точки M(-5; 0): $0 = k \cdot (-5) + b \implies -5k + b = 0$.

Для точки K(2; -1): $-1 = k \cdot 2 + b \implies 2k + b = -1$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} -5k + b = 0 \\ 2k + b = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения легко выразить $b$: $b = 5k$.

Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $k$:
$2k + (5k) = -1$
$7k = -1$
$k = -\frac{1}{7}$

Теперь найдем $b$, подставив найденное значение $k$ в выражение $b = 5k$:
$b = 5 \cdot (-\frac{1}{7}) = -\frac{5}{7}$

Мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{7}$ и $b = -\frac{5}{7}$. Следовательно, искомая формула линейной функции:

Ответ: $y = -\frac{1}{7}x - \frac{5}{7}$

1192. (Для работы в парах.) Напишите уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через точки:
a) M(−1; 1) и Р(4; 4); б) А(−3; 3) и В(3; −3).
1) Обсудите друг с другом ход решения задачи.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли составлены уравнения, построив соответствующие графики.

Для того чтобы найти уравнение прямой вида $y = kx + b$, проходящей через две заданные точки, необходимо определить значения коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член). Для этого нужно составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($k$ и $b$), подставив координаты каждой из двух точек в уравнение прямой. После решения системы мы найдем искомые коэффициенты.

а) Напишем уравнение прямой, проходящей через точки M(–1; 1) и P(4; 4).
Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$:
1. Для точки M(–1; 1): $1 = k \cdot (–1) + b \implies -k + b = 1$
2. Для точки P(4; 4): $4 = k \cdot 4 + b \implies 4k + b = 4$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases}-k + b = 1 \\4k + b = 4\end{cases}$
Чтобы решить систему, вычтем первое уравнение из второго:
$(4k + b) - (-k + b) = 4 - 1$
$4k + k = 3$
$5k = 3$
$k = \frac{3}{5}$
Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в первое уравнение:
$-(\frac{3}{5}) + b = 1$
$b = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$.
Проверим правильность, подставив координаты точек в полученное уравнение:
Для M(–1; 1): $1 = \frac{3}{5}(-1) + \frac{8}{5} \implies 1 = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} \implies 1 = \frac{5}{5}$, что верно.
Для P(4; 4): $4 = \frac{3}{5}(4) + \frac{8}{5} \implies 4 = \frac{12}{5} + \frac{8}{5} \implies 4 = \frac{20}{5}$, что верно.
Ответ: $y = \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$

б) Напишем уравнение прямой, проходящей через точки A(–3; 3) и B(3; –3).
Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$:
1. Для точки A(–3; 3): $3 = k \cdot (–3) + b \implies -3k + b = 3$
2. Для точки B(3; –3): $-3 = k \cdot 3 + b \implies 3k + b = -3$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases}-3k + b = 3 \\3k + b = -3\end{cases}$
Чтобы решить систему, сложим оба уравнения:
$(-3k + b) + (3k + b) = 3 + (-3)$
$2b = 0$
$b = 0$
Теперь найдем $k$, подставив значение $b$ во второе уравнение:
$3k + 0 = -3$
$3k = -3$
$k = -1$
Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = -1 \cdot x + 0$, что упрощается до $y = -x$.
Проверим правильность, подставив координаты точек в полученное уравнение:
Для A(–3; 3): $3 = -(-3) \implies 3 = 3$, что верно.
Для B(3; –3): $-3 = -(3) \implies -3 = -3$, что верно.
Ответ: $y = -x$

1193. Автомобиль проделал путь за 8 ч. Сначала он ехал со скоростью 40 км/ч, а затем со скоростью 60 км/ч. Весь этот путь он мог бы проехать за то же время, если бы ехал со скоростью 45 км/ч. Сколько часов ехал автомобиль со скоростью 40 км/ч и сколько со скоростью 60 км/ч?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $t_1$ — это время, которое автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, а $t_2$ — время, которое он ехал со скоростью 60 км/ч.

Общее время в пути составляет 8 часов, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$t_1 + t_2 = 8$

Сначала найдем общее расстояние, которое проехал автомобиль. По условию, это же расстояние можно было бы проехать за 8 часов со скоростью 45 км/ч. Используем формулу расстояния $S = v \cdot t$:

$S = 45 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 360 \text{ км}$

Теперь выразим это же расстояние через два участка пути. Расстояние, пройденное на первом участке, равно $S_1 = 40 \cdot t_1$. Расстояние, пройденное на втором участке, равно $S_2 = 60 \cdot t_2$. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию, что дает нам второе уравнение:

$40t_1 + 60t_2 = 360$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 40t_1 + 60t_2 = 360 \end{cases}$

Можно упростить второе уравнение, разделив все его члены на 20:

$2t_1 + 3t_2 = 18$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 2t_1 + 3t_2 = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $t_1$ через $t_2$:

$t_1 = 8 - t_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(8 - t_2) + 3t_2 = 18$

Решим полученное уравнение:

$16 - 2t_2 + 3t_2 = 18$

$16 + t_2 = 18$

$t_2 = 18 - 16$

$t_2 = 2$

Таким образом, время, которое автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, составляет 2 часа.

Теперь найдем $t_1$, подставив найденное значение $t_2$ в первое уравнение:

$t_1 = 8 - t_2 = 8 - 2 = 6$

Следовательно, время, которое автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, составляет 6 часов.

Проверим правильность решения. Общее время: $6 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$. Общее расстояние: $(40 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч}) + (60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч}) = 240 \text{ км} + 120 \text{ км} = 360 \text{ км}$. Все сходится с условиями задачи.

Ответ: автомобиль ехал 6 часов со скоростью 40 км/ч и 2 часа со скоростью 60 км/ч.