Номер 1189, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 15 - номер 1189, страница 232.

Условие.

1189. Имеет ли решения система уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x} - 4\mathrm{y} = 1,\\ 3\mathrm{x} + \mathrm{y} = 13,\\ 7\mathrm{x} - 5\mathrm{y} =1;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{l}11\mathrm{x} + 3\mathrm{y} = 1,\\ 2\mathrm{x} + \mathrm{y} = 3,\\ 5\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 4?\end{array}\right.$

Решение 1.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{x}-4\mathrm{y}=1,\\ 3\mathrm{x}+\mathrm{y}=13,\\ 7\mathrm{x}-5\mathrm{y}=1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{y}=5\mathrm{x}-1,\\ \mathrm{y}=13-3\mathrm{x}, \\ 5\mathrm{y}=7\mathrm{x}-1,\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{5\mathrm{x}-1}{4},\\ \mathrm{y}=-3\mathrm{x}+13, \\ \mathrm{y}=\frac{7\mathrm{x}-1}{5},\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=1\frac{1}{4}\mathrm{x}-\frac{1}{4} \left(1\right)\\ \mathrm{y}=-3\mathrm{x}+13 \left(2\right) \\ \mathrm{y}=1,4\mathrm{x}-0,2 \left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Приравняем ординаты уравнений (2) и (3) системы и таким образом найдём абсциссу

-3x + 13 = 1,4x - 0,2;
-3x - 1,4x = -0,2 - 13;
-4,4x = -13,2;
$\mathrm{x}=\frac{-13,2}{-4,4};$
x = 132 : 44;
x = 3

y = -3 ⋅ 3 + 13 = -9 + 13 = 4

Подставим x = 3 и y = 4 в первое уравнение системы

5 ⋅ 3 - 4 ⋅ 4 = 15 - 16 = -1 ≠ 1

Значит, пара чисел (3; 4) не является решением данной системы.

Ответ: решений нет.

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}11\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1,\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=3,\\ 5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=4,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3-2\mathrm{x},\\ 11\mathrm{x}+3(3-2\mathrm{x})=1, \\ 5\mathrm{x}+2(3-2\mathrm{x})=4,\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3-2\mathrm{x},\\ 11\mathrm{x}+9-6\mathrm{x}=1, \\ 5\mathrm{x}+6-4\mathrm{x}=4,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3-2\mathrm{x},\\ 5\mathrm{x}=1-9, \\ \mathrm{x}=4-6,\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3-2\mathrm{x},\\ 5\mathrm{x}=-8, \\ \mathrm{x}=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

5 ⋅ (-2) = -10 ≠ -8 – неверно

Ответ: система уравнений решений не имеет.

Решение 2.

a)

Чтобы определить, имеет ли система из трех уравнений с двумя переменными решение, нужно найти решение системы, состоящей из любых двух уравнений, и затем проверить, удовлетворяет ли найденная пара значений $(x, y)$ третьему уравнению.

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x - 4y = 1 \quad (1) \\ 3x + y = 13 \quad (2) \\ 7x - 5y = 1 \quad (3) \end{cases} $$

Решим систему, составленную из первого и третьего уравнений. Это удобно, так как их правые части равны:

$$ \begin{cases} 5x - 4y = 1 \\ 7x - 5y = 1 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$5x - 4y = 7x - 5y$

$5y - 4y = 7x - 5x$

$y = 2x$

Теперь подставим выражение $y = 2x$ в первое уравнение ($5x - 4y = 1$):

$5x - 4(2x) = 1$

$5x - 8x = 1$

$-3x = 1$

$x = -\frac{1}{3}$

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 2x = 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$

Таким образом, решением системы из уравнений (1) и (3) является пара чисел $(-\frac{1}{3}; -\frac{2}{3})$.

Теперь выполним проверку, подставив эти значения во второе уравнение системы ($3x + y = 13$):

$3 \cdot (-\frac{1}{3}) + (-\frac{2}{3}) = -1 - \frac{2}{3} = -1\frac{2}{3}$

Мы получили, что $-1\frac{2}{3} = 13$, что является неверным равенством. Следовательно, найденное решение не удовлетворяет второму уравнению.

Ответ: система не имеет решений.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 11x + 3y = 1 \quad (1) \\ 2x + y = 3 \quad (2) \\ 5x + 2y = 4 \quad (3) \end{cases} $$

Аналогично предыдущему пункту, решим систему из двух уравнений. Возьмем второе и третье уравнения:

$$ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ 5x + 2y = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 3 - 2x$

Подставим это выражение в третье уравнение ($5x + 2y = 4$):

$5x + 2(3 - 2x) = 4$

$5x + 6 - 4x = 4$

$x + 6 = 4$

$x = -2$

Теперь найдем значение $y$:

$y = 3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7$

Решением системы из уравнений (2) и (3) является пара чисел $(-2; 7)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы ($11x + 3y = 1$):

$11(-2) + 3(7) = -22 + 21 = -1$

Мы получили, что $-1 = 1$, что является неверным равенством. Следовательно, найденное решение не удовлетворяет первому уравнению.

Ответ: система не имеет решений.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.