Номер 1194, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1194, страница 233.

1194. Велосипедист ехал от пункта А до пункта В со скоростью 10 км/ч, а от пункта В до пункта С со скоростью 15 км/ч. На весь путь он затратил 5 ч. Тот же путь за то же время он мог бы проехать со скоростью 12 км/ч. Сколько часов затратил велосипедист на путь от А до В и сколько на путь от В до С?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $t_{AB}$ — время (в часах), затраченное на путь из пункта A в пункт B.
• Пусть $t_{BC}$ — время (в чахас), затраченное на путь из пункта B в пункт C.

По условию, общее время в пути составляет 5 часов. Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$t_{AB} + t_{BC} = 5$

Также в условии сказано, что весь путь за то же время (5 часов) можно было бы проехать со средней скоростью 12 км/ч. Это позволяет нам найти общее расстояние $S_{общ}$:

$S_{общ} = 12 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 60 \text{ км}$

Общее расстояние также является суммой расстояний участков AB и BC. Расстояние каждого участка можно выразить через скорость и время, используя формулу $S = v \cdot t$:

• Расстояние AB: $S_{AB} = v_{AB} \cdot t_{AB} = 10 \cdot t_{AB}$
• Расстояние BC: $S_{BC} = v_{BC} \cdot t_{BC} = 15 \cdot t_{BC}$

Сложив расстояния участков, получаем второе уравнение:

$S_{AB} + S_{BC} = S_{общ}$

$10 \cdot t_{AB} + 15 \cdot t_{BC} = 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_{AB} + t_{BC} = 5 \\ 10t_{AB} + 15t_{BC} = 60 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $t_{AB}$:

$t_{AB} = 5 - t_{BC}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$10 \cdot (5 - t_{BC}) + 15 \cdot t_{BC} = 60$

Раскроем скобки и найдем $t_{BC}$:

$50 - 10t_{BC} + 15t_{BC} = 60$

$5t_{BC} = 60 - 50$

$5t_{BC} = 10$

$t_{BC} = \frac{10}{5} = 2$ часа.

Теперь найдем $t_{AB}$, подставив найденное значение $t_{BC}$ в первое уравнение:

$t_{AB} = 5 - 2 = 3$ часа.

Ответ: на путь от А до В велосипедист затратил 3 часа, а на путь от В до С — 2 часа.