Номер 1193, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1193, страница 232.

1193. Автомобиль проделал путь за 8 ч. Сначала он ехал со скоростью 40 км/ч, а затем со скоростью 60 км/ч. Весь этот путь он мог бы проехать за то же время, если бы ехал со скоростью 45 км/ч. Сколько часов ехал автомобиль со скоростью 40 км/ч и сколько со скоростью 60 км/ч?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $t_1$ — это время, которое автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, а $t_2$ — время, которое он ехал со скоростью 60 км/ч.

Общее время в пути составляет 8 часов, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$t_1 + t_2 = 8$

Сначала найдем общее расстояние, которое проехал автомобиль. По условию, это же расстояние можно было бы проехать за 8 часов со скоростью 45 км/ч. Используем формулу расстояния $S = v \cdot t$:

$S = 45 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 360 \text{ км}$

Теперь выразим это же расстояние через два участка пути. Расстояние, пройденное на первом участке, равно $S_1 = 40 \cdot t_1$. Расстояние, пройденное на втором участке, равно $S_2 = 60 \cdot t_2$. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию, что дает нам второе уравнение:

$40t_1 + 60t_2 = 360$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 40t_1 + 60t_2 = 360 \end{cases}$

Можно упростить второе уравнение, разделив все его члены на 20:

$2t_1 + 3t_2 = 18$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 2t_1 + 3t_2 = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $t_1$ через $t_2$:

$t_1 = 8 - t_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(8 - t_2) + 3t_2 = 18$

Решим полученное уравнение:

$16 - 2t_2 + 3t_2 = 18$

$16 + t_2 = 18$

$t_2 = 18 - 16$

$t_2 = 2$

Таким образом, время, которое автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, составляет 2 часа.

Теперь найдем $t_1$, подставив найденное значение $t_2$ в первое уравнение:

$t_1 = 8 - t_2 = 8 - 2 = 6$

Следовательно, время, которое автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, составляет 6 часов.

Проверим правильность решения. Общее время: $6 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$. Общее расстояние: $(40 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч}) + (60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч}) = 240 \text{ км} + 120 \text{ км} = 360 \text{ км}$. Все сходится с условиями задачи.

Ответ: автомобиль ехал 6 часов со скоростью 40 км/ч и 2 часа со скоростью 60 км/ч.