Номер 1190, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 15 - номер 1190, страница 232.

Условие.

1190. Проходят ли прямые 2х + 3у = 20, 3х − 5у = 11 и х + у = 9 через одну и ту же точку?

Решение 1.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=20,\\ 3\mathrm{x}-5\mathrm{y}=11, \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=9 /·(-2),\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=20 (1\\ 3\mathrm{x}-5\mathrm{y}=1 \left(2\right) \\ -2\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-18 \left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Сложим почленно (1) и (3) уравнения системы

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=2,\\ 3\mathrm{x}-5\mathrm{y}=11, \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=9,\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2,\\ 3·7-5·2=11 – \mathrm{верно} \\ \mathrm{x}=7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Решение 2.

Чтобы определить, проходят ли три прямые через одну и ту же точку, необходимо найти точку пересечения любых двух из этих прямых, а затем проверить, принадлежит ли найденная точка третьей прямой.

Возьмем первые два уравнения и найдем точку пересечения соответствующих им прямых, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 20 \\ 3x - 5y = 11 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе — на 3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 5 \cdot (2x + 3y) = 5 \cdot 20 \\ 3 \cdot (3x - 5y) = 3 \cdot 11 \end{cases} \implies \begin{cases} 10x + 15y = 100 \\ 9x - 15y = 33 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

$(10x + 15y) + (9x - 15y) = 100 + 33$

$19x = 133$

$x = \frac{133}{19}$

$x = 7$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$2(7) + 3y = 20$

$14 + 3y = 20$

$3y = 20 - 14$

$3y = 6$

$y = \frac{6}{3}$

$y = 2$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(7; 2)$.

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой, заданной уравнением $x + y = 9$. Для этого подставим координаты точки $(7; 2)$ в это уравнение:

$7 + 2 = 9$

$9 = 9$

Полученное равенство является верным. Это означает, что точка $(7; 2)$ лежит и на третьей прямой.

Следовательно, все три прямые проходят через одну и ту же точку.

Ответ: Да, проходят.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.