Номер 1191, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1191, страница 232.

1191. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки:
а) А(1; 2) и В(−2; 3);
б) М(−5; 0) и К(2; −1).

а)

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член. Поскольку график функции проходит через точки A(1; 2) и B(-2; 3), их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты каждой точки в это уравнение, чтобы получить систему уравнений для нахождения коэффициентов $k$ и $b$.

Для точки A(1; 2): $2 = k \cdot 1 + b \implies k + b = 2$.

Для точки B(-2; 3): $3 = k \cdot (-2) + b \implies -2k + b = 3$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = 3 \end{cases}$

Чтобы решить систему, можно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить $b$ и найти $k$:
$(k + b) - (-2k + b) = 2 - 3$
$k + b + 2k - b = -1$
$3k = -1$
$k = -\frac{1}{3}$

Теперь подставим найденное значение $k$ в первое уравнение ($k + b = 2$), чтобы найти $b$:
$-\frac{1}{3} + b = 2$
$b = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{7}{3}$. Подставив их в общую формулу, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$

б)

Аналогично, для нахождения формулы функции $y = kx + b$, график которой проходит через точки M(-5; 0) и K(2; -1), составим систему уравнений.

Для точки M(-5; 0): $0 = k \cdot (-5) + b \implies -5k + b = 0$.

Для точки K(2; -1): $-1 = k \cdot 2 + b \implies 2k + b = -1$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} -5k + b = 0 \\ 2k + b = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения легко выразить $b$: $b = 5k$.

Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $k$:
$2k + (5k) = -1$
$7k = -1$
$k = -\frac{1}{7}$

Теперь найдем $b$, подставив найденное значение $k$ в выражение $b = 5k$:
$b = 5 \cdot (-\frac{1}{7}) = -\frac{5}{7}$

Мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{7}$ и $b = -\frac{5}{7}$. Следовательно, искомая формула линейной функции:

Ответ: $y = -\frac{1}{7}x - \frac{5}{7}$