Номер 1187, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1187, страница 232.

1187. Найдите решение системы уравнений:

$a) \left\{\begin{array}{l}{(x - 1)}^2 - {(x + 2)}^2 = 9y,\\ {(y - 3)}^2 - {(y + 2)}^2 = 5x;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}{(7 + u)}^2 - {(5 + u)}^2 = 6\nu ,\\ {(2 - \nu )}^2 - {(6 - \nu )}^2 = 4u.\end{array}\right.$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 9y \\ (y - 3)^2 - (y + 2)^2 = 5x \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Для первого уравнения:

$((x - 1) - (x + 2)) \cdot ((x - 1) + (x + 2)) = 9y$

$(x - 1 - x - 2) \cdot (x - 1 + x + 2) = 9y$

$(-3) \cdot (2x + 1) = 9y$

$-6x - 3 = 9y$

Разделим обе части уравнения на 3:

$-2x - 1 = 3y$

Для второго уравнения:

$((y - 3) - (y + 2)) \cdot ((y - 3) + (y + 2)) = 5x$

$(y - 3 - y - 2) \cdot (y - 3 + y + 2) = 5x$

$(-5) \cdot (2y - 1) = 5x$

$-10y + 5 = 5x$

Разделим обе части уравнения на 5:

$-2y + 1 = x$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} -2x - 1 = 3y \\ x = 1 - 2y \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$-2(1 - 2y) - 1 = 3y$

$-2 + 4y - 1 = 3y$

$4y - 3 = 3y$

$4y - 3y = 3$

$y = 3$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 3$ во второе уравнение:

$x = 1 - 2(3)$

$x = 1 - 6$

$x = -5$

Решение системы: $(-5; 3)$.

Ответ: $(-5; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (7 + u)^2 - (5 + u)^2 = 6v \\ (2 - v)^2 - (6 - v)^2 = 4u \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы, используя ту же формулу разности квадратов.

Для первого уравнения:

$((7 + u) - (5 + u)) \cdot ((7 + u) + (5 + u)) = 6v$

$(7 + u - 5 - u) \cdot (7 + u + 5 + u) = 6v$

$(2) \cdot (12 + 2u) = 6v$

$24 + 4u = 6v$

Разделим обе части уравнения на 2:

$12 + 2u = 3v$

Для второго уравнения:

$((2 - v) - (6 - v)) \cdot ((2 - v) + (6 - v)) = 4u$

$(2 - v - 6 + v) \cdot (2 - v + 6 - v) = 4u$

$(-4) \cdot (8 - 2v) = 4u$

$-32 + 8v = 4u$

Разделим обе части уравнения на 4:

$-8 + 2v = u$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 12 + 2u = 3v \\ u = 2v - 8 \end{cases}$

Подставим выражение для $u$ из второго уравнения в первое:

$12 + 2(2v - 8) = 3v$

$12 + 4v - 16 = 3v$

$4v - 4 = 3v$

$4v - 3v = 4$

$v = 4$

Теперь найдем значение $u$, подставив $v = 4$ во второе уравнение:

$u = 2(4) - 8$

$u = 8 - 8$

$u = 0$

Решение системы: $(0; 4)$.

Ответ: $(0; 4)$.