Номер 1187, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 15 - номер 1187, страница 232.

Условие.

1187. Найдите решение системы уравнений:

$a) \left\{\begin{array}{l}{(x - 1)}^2 - {(x + 2)}^2 = 9y,\\ {(y - 3)}^2 - {(y + 2)}^2 = 5x;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}{(7 + u)}^2 - {(5 + u)}^2 = 6\nu ,\\ {(2 - \nu )}^2 - {(6 - \nu )}^2 = 4u.\end{array}\right.$

Решение 1.

$\mathbf{a}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}{(\mathrm{x}-1)}^2-{(\mathrm{x}+2)}^2=9\mathrm{y},\\ {(\mathrm{y}-3)}^2-{(\mathrm{y}+2)}^2=5\mathrm{x},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1-({\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+4)=9\mathrm{y},\\ {\mathrm{y}}^2-6\mathrm{y}+9-({\mathrm{y}}^2+4\mathrm{y}+4)=5\mathrm{x},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1-{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-4=9\mathrm{y},\\ {\mathrm{y}}^2-6\mathrm{y}+9-{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}-4=5\mathrm{x},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-6\mathrm{x}-3=9\mathrm{y},\\ -10\mathrm{y}+5=5\mathrm{x},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-6\mathrm{x}-9\mathrm{y}=3 /: (-3),\\ -5\mathrm{x}-10\mathrm{y}=-5/ : (-5),\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-1,\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=+1 /·(-2),\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-1,\\ -2\mathrm{x}-4\mathrm{y}=-2,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{y}=-3,\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=1,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3,\\ \mathrm{x}+2·3=1,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3,\\ \mathrm{x}+6=1,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3,\\ \mathrm{x}=-5\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-5; 3).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}{(7+\mathrm{u})}^2-{(5+\mathrm{u})}^2=6\mathrm{\nu },\\ {(2-\mathrm{\nu })}^2-{(6-\mathrm{\nu })}^2=4\mathrm{u},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}49+14\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2-\left(25+10\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2\right)=6\mathrm{v},\\ 4-4\mathrm{v}+{\mathrm{v}}^2-\left(36-12\mathrm{v}+{\mathrm{v}}^2\right)=4\mathrm{u},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}49+14\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2-25-10\mathrm{u}-{\mathrm{u}}^2=6\mathrm{v},\\ 4-4\mathrm{v}+{\mathrm{v}}^2-36+12\mathrm{v}-{\mathrm{v}}^2=4\mathrm{u},\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{u}-6\mathrm{v}=25-49,\\ 8\mathrm{v}-4\mathrm{u}=36-4,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{u}-6\mathrm{v}=-24,\\ -4\mathrm{u}+8\mathrm{v}=32,\end{array}\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{v}=8,\\ 4\mathrm{u}-6\mathrm{v}=-24,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=4,\\ 4\mathrm{u}-6·4=-24,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=4,\\ 4\mathrm{u}-24=-24,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=4,\\ 4\mathrm{u}=-24+24,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=4,\\ 4\mathrm{u}=0,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=4,\\ \mathrm{u}=0\end{array}\right.$

Ответ: u = 0; v = 4.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 9y \\ (y - 3)^2 - (y + 2)^2 = 5x \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Для первого уравнения:

$((x - 1) - (x + 2)) \cdot ((x - 1) + (x + 2)) = 9y$

$(x - 1 - x - 2) \cdot (x - 1 + x + 2) = 9y$

$(-3) \cdot (2x + 1) = 9y$

$-6x - 3 = 9y$

Разделим обе части уравнения на 3:

$-2x - 1 = 3y$

Для второго уравнения:

$((y - 3) - (y + 2)) \cdot ((y - 3) + (y + 2)) = 5x$

$(y - 3 - y - 2) \cdot (y - 3 + y + 2) = 5x$

$(-5) \cdot (2y - 1) = 5x$

$-10y + 5 = 5x$

Разделим обе части уравнения на 5:

$-2y + 1 = x$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} -2x - 1 = 3y \\ x = 1 - 2y \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$-2(1 - 2y) - 1 = 3y$

$-2 + 4y - 1 = 3y$

$4y - 3 = 3y$

$4y - 3y = 3$

$y = 3$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 3$ во второе уравнение:

$x = 1 - 2(3)$

$x = 1 - 6$

$x = -5$

Решение системы: $(-5; 3)$.

Ответ: $(-5; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (7 + u)^2 - (5 + u)^2 = 6v \\ (2 - v)^2 - (6 - v)^2 = 4u \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы, используя ту же формулу разности квадратов.

Для первого уравнения:

$((7 + u) - (5 + u)) \cdot ((7 + u) + (5 + u)) = 6v$

$(7 + u - 5 - u) \cdot (7 + u + 5 + u) = 6v$

$(2) \cdot (12 + 2u) = 6v$

$24 + 4u = 6v$

Разделим обе части уравнения на 2:

$12 + 2u = 3v$

Для второго уравнения:

$((2 - v) - (6 - v)) \cdot ((2 - v) + (6 - v)) = 4u$

$(2 - v - 6 + v) \cdot (2 - v + 6 - v) = 4u$

$(-4) \cdot (8 - 2v) = 4u$

$-32 + 8v = 4u$

Разделим обе части уравнения на 4:

$-8 + 2v = u$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 12 + 2u = 3v \\ u = 2v - 8 \end{cases}$

Подставим выражение для $u$ из второго уравнения в первое:

$12 + 2(2v - 8) = 3v$

$12 + 4v - 16 = 3v$

$4v - 4 = 3v$

$4v - 3v = 4$

$v = 4$

Теперь найдем значение $u$, подставив $v = 4$ во второе уравнение:

$u = 2(4) - 8$

$u = 8 - 8$

$u = 0$

Решение системы: $(0; 4)$.

Ответ: $(0; 4)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.