Страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1144. Постройте прямую у = 13х. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:
$\mathrm{а}) \mathrm{у} >\frac{1}{3}\mathrm{х};$

$\mathrm{б}) \mathrm{у} <\frac{1}{3}\mathrm{х};$

Сначала построим прямую, заданную уравнением $y = \frac{1}{3}x$. Это линейная функция, график которой является прямой, проходящей через начало координат $(0, 0)$, так как свободный член равен нулю.

Для построения прямой достаточно найти координаты еще одной точки, принадлежащей ей. Например, при $x = 3$ получаем $y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$, что дает нам точку $(3, 1)$. Соединив точки $(0, 0)$ и $(3, 1)$, мы получим график прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Эта прямая делит всю координатную плоскость на две открытые полуплоскости. Поскольку в обоих неравенствах знак строгий ($>$ или $<$), сама прямая $y = \frac{1}{3}x$ не входит в множество решений. При построении ее следует изображать штриховой (пунктирной) линией.

а) $y > \frac{1}{3}x$

Неравенство $y > \frac{1}{3}x$ задает одну из двух полуплоскостей, на которые прямая $y = \frac{1}{3}x$ делит координатную плоскость. Чтобы определить, какая из полуплоскостей является решением, выберем произвольную контрольную точку, не лежащую на прямой, и проверим, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству. Возьмем, к примеру, точку $(0, 1)$, которая лежит на оси OY выше начала координат.

Подставим ее координаты ($x=0, y=1$) в неравенство:

$1 > \frac{1}{3} \cdot 0$

$1 > 0$

Полученное неравенство верное. Это означает, что точка $(0, 1)$ принадлежит искомому множеству. Точка $(0, 1)$ находится выше прямой $y = \frac{1}{3}x$. Следовательно, решением неравенства является вся открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{3}x$. Эту область следует заштриховать.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y > \frac{1}{3}x$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = \frac{1}{3}x$. Сама прямая в это множество не входит.

б) $y < \frac{1}{3}x$

Рассмотрим неравенство $y < \frac{1}{3}x$. Аналогично предыдущему пункту, это неравенство задает полуплоскость. Снова выберем контрольную точку, не лежащую на прямой $y = \frac{1}{3}x$. Возьмем, к примеру, точку $(3, 0)$, которая лежит на оси OX.

Подставим ее координаты ($x=3, y=0$) в неравенство:

$0 < \frac{1}{3} \cdot 3$

$0 < 1$

Полученное неравенство верное. Это означает, что точка $(3, 0)$ принадлежит искомому множеству. Точка $(3, 0)$ находится ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$. Следовательно, решением неравенства является вся открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$. Эту область следует заштриховать.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < \frac{1}{3}x$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$. Сама прямая в это множество не входит.

1145. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, которое задаёт неравенство:
a) у ≥ x; б) у ≤ −x; в) х ≥ 1; г) у ≤ 5.

а) $y \ge x$

Чтобы показать на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством $y \ge x$, сначала необходимо построить граничную линию. Эта линия соответствует равенству $y = x$. Графиком этого уравнения является прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит, например, через точки (0, 0) и (1, 1).

Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), точки, лежащие на самой прямой $y=x$, также являются решениями. Поэтому граничную линию следует изобразить сплошной линией.

Прямая $y=x$ делит координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем произвольную контрольную точку, не лежащую на прямой. Например, возьмем точку с координатами (0, 2). Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$2 \ge 0$

Это верное неравенство. Следовательно, полуплоскость, в которой лежит точка (0, 2), является искомым множеством. Это полуплоскость, расположенная выше прямой $y=x$. Заштриховываем эту область.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $y \ge x$, представляет собой полуплоскость, расположенную выше прямой $y=x$, включая саму прямую.

б) $y \le -x$

Граничной линией для этого неравенства является прямая, заданная уравнением $y = -x$. Это биссектриса второго и четвертого координатных углов, проходящая через точки (0, 0) и (1, -1).

Так как неравенство нестрогое ($\le$), граничная прямая $y=-x$ включается в множество решений, и ее следует чертить сплошной линией.

Выберем контрольную точку, чтобы определить нужную полуплоскость. Возьмем точку (-1, -1). Подставим ее координаты в неравенство:

$-1 \le -(-1)$

$-1 \le 1$

Неравенство верно. Значит, нам нужна полуплоскость, содержащая точку (-1, -1). Это область, расположенная ниже прямой $y=-x$. Заштриховываем ее.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $y \le -x$, представляет собой полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=-x$, включая саму прямую.

в) $x \ge 1$

Граничной линией для неравенства $x \ge 1$ является прямая $x = 1$. Это вертикальная прямая, параллельная оси ординат (оси OY) и проходящая через точку (1, 0) на оси абсцисс.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сама прямая $x=1$ является частью решения, поэтому изображаем ее сплошной линией.

Неравенство $x \ge 1$ выполняется для всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) больше или равна 1. Такие точки расположены на самой прямой $x=1$ и справа от нее. Таким образом, нужно заштриховать всю полуплоскость справа от прямой $x=1$.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $x \ge 1$, представляет собой полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x=1$, включая саму прямую.

г) $y \le 5$

Граничной линией для неравенства $y \le 5$ является прямая $y = 5$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (оси OX) и проходящая через точку (0, 5) на оси ординат.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямая $y=5$ включается в множество решений и чертится сплошной линией.

Неравенство $y \le 5$ выполняется для всех точек, у которых ордината (координата $y$) меньше или равна 5. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные на самой прямой $y=5$ и ниже нее. Следовательно, необходимо заштриховать полуплоскость, находящуюся ниже прямой $y=5$.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $y \le 5$, представляет собой полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y=5$, включая саму прямую.

1146. Изобразите множество точек, которое задаёт на координатной плоскости неравенство:

а) у ≥ х + 1;
б) у < −0,2х + 3.

Чтобы изобразить множество точек, заданное неравенством, на координатной плоскости, нужно выполнить следующие шаги:

1. Построить граничную прямую, заменив в неравенстве знак неравенства на знак равенства.
2. Определить, какой тип линии использовать: сплошную (если неравенство нестрогое, т.е. $ \geq $ или $ \leq $) или пунктирную (если неравенство строгое, т.е. $ > $ или $ < $).
3. Выбрать контрольную точку, не лежащую на прямой (например, начало координат $(0, 0)$, если оно не на прямой), и подставить её координаты в исходное неравенство.
4. Если неравенство выполняется, то искомым множеством будет та полуплоскость, в которой лежит контрольная точка. Если не выполняется — то другая полуплоскость.

а) $y \geq x + 1$

1. Построение граничной прямой.
Уравнение граничной прямой: $y = x + 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдём две точки, принадлежащие ей.
Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
Если $y = 0$, то $0 = x + 1$, откуда $x = -1$. Получаем точку $(-1, 0)$.
Проводим через эти две точки прямую.

2. Определение типа линии.
Неравенство $y \geq x + 1$ является нестрогим (содержит знак "равно"). Это означает, что точки на самой прямой $y = x + 1$ являются частью решения. Поэтому прямую следует изобразить сплошной линией.

3. Определение искомой полуплоскости.
Возьмём контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим её координаты в исходное неравенство:
$0 \geq 0 + 1$
$0 \geq 1$
Это неверное утверждение. Следовательно, полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, не является решением. Решением является противоположная полуплоскость, то есть область, расположенная выше прямой $y = x + 1$.

Таким образом, искомое множество точек — это все точки на прямой $y = x + 1$ и все точки координатной плоскости, лежащие выше этой прямой.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \geq x + 1$, — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = x + 1$, включая саму прямую.

б) $y < -0,2x + 3$

1. Построение граничной прямой.
Уравнение граничной прямой: $y = -0,2x + 3$. Это также линейная функция. Найдём две точки для её построения.
Если $x = 0$, то $y = -0,2 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
Если $x = 5$, то $y = -0,2 \cdot 5 + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(5, 2)$.
Проводим через эти две точки прямую.

2. Определение типа линии.
Неравенство $y < -0,2x + 3$ является строгим (не содержит знака "равно"). Это означает, что точки на самой прямой $y = -0,2x + 3$ не входят в множество решений. Поэтому прямую следует изобразить пунктирной линией.

3. Определение искомой полуплоскости.
Возьмём в качестве контрольной точки начало координат $(0, 0)$, так как она не лежит на прямой. Подставим её координаты в исходное неравенство:
$0 < -0,2 \cdot 0 + 3$
$0 < 3$
Это верное утверждение. Следовательно, полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, является решением. Эта область расположена ниже прямой $y = -0,2x + 3$.

Таким образом, искомое множество точек — это все точки координатной плоскости, лежащие ниже прямой $y = -0,2x + 3$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < -0,2x + 3$, — это полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -0,2x + 3$, не включая саму прямую.

1147. Задайте неравенством полуплоскость, расположенную выше прямой:
а) у = х − 1,3; б) х + у = 5.

а) Дано уравнение прямой $y = x - 1,3$.

Полуплоскость, расположенная выше некоторой прямой, заданной уравнением вида $y = f(x)$, состоит из всех точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют неравенству $y > f(x)$. Это означает, что для любого значения $x$ ордината $y$ точки из этой полуплоскости должна быть больше, чем ордината точки на самой прямой.

В данном случае $f(x) = x - 1,3$. Следовательно, неравенство, задающее полуплоскость выше прямой, имеет вид $y > x - 1,3$.

Ответ: $y > x - 1,3$.

б) Дано уравнение прямой $x + y = 5$.

Для того чтобы использовать тот же принцип, что и в пункте а), выразим $y$ через $x$ из уравнения прямой. Для этого перенесем $x$ в правую часть уравнения:

$y = 5 - x$.

Теперь уравнение имеет вид $y = f(x)$, где $f(x) = 5 - x$.

Полуплоскость, расположенная выше этой прямой, задается неравенством $y > f(x)$, то есть:

$y > 5 - x$.

Данное неравенство можно также преобразовать, перенеся $x$ обратно в левую часть, чтобы получить вид, схожий с исходным уравнением прямой:

$y + x > 5$.

Ответ: $x + y > 5$.

1148. Является ли пара чисел х = −3, у = 4 решением системы неравенств:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x} - \mathrm{y} < 0,\\ \mathrm{x} + \mathrm{y} > 1;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} + \mathrm{y} < 5,\\ \mathrm{x} - 2\mathrm{y} > -15?\end{array}\right.$

Чтобы определить, является ли пара чисел $x = -3$, $y = 4$ решением системы неравенств, необходимо подставить эти значения в каждое неравенство системы и проверить, выполняются ли они. Пара чисел является решением системы, только если она удовлетворяет каждому неравенству в системе.

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3x - y < 0 \\ x + y > 1 \end{cases} $$

Подставим значения $x = -3$ и $y = 4$ в первое неравенство:

$3 \cdot (-3) - 4 < 0$

$-9 - 4 < 0$

$-13 < 0$

Первое неравенство выполняется, так как $-13$ действительно меньше $0$.

Теперь подставим те же значения во второе неравенство:

$(-3) + 4 > 1$

$1 > 1$

Второе неравенство не выполняется, так как $1$ не больше $1$, а равно $1$.

Поскольку одно из неравенств системы не обращается в верное числовое неравенство, данная пара чисел не является решением системы.

Ответ: нет.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x + y < 5 \\ x - 2y > -15 \end{cases} $$

Подставим значения $x = -3$ и $y = 4$ в первое неравенство:

$(-3) + 4 < 5$

$1 < 5$

Первое неравенство выполняется, так как $1$ действительно меньше $5$.

Теперь подставим те же значения во второе неравенство:

$(-3) - 2 \cdot 4 > -15$

$-3 - 8 > -15$

$-11 > -15$

Второе неравенство также выполняется, так как $-11$ больше $-15$.

Поскольку оба неравенства системы обратились в верные числовые неравенства, данная пара чисел является решением системы.

Ответ: да.