Страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1102. Найдите решение системы уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,75x + 20y = 95 \\ 0,32x - 25y = 7 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 5, а второе на 4.

$ \begin{cases} 5(0,75x + 20y) = 5 \cdot 95 \\ 4(0,32x - 25y) = 4 \cdot 7 \end{cases} $

Выполнив умножение, получаем новую систему:

$ \begin{cases} 3,75x + 100y = 475 \\ 1,28x - 100y = 28 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$ (3,75x + 1,28x) + (100y - 100y) = 475 + 28 $

$ 5,03x = 503 $

$ x = \frac{503}{5,03} $

$ x = 100 $

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$ 0,75 \cdot 100 + 20y = 95 $

$ 75 + 20y = 95 $

$ 20y = 95 - 75 $

$ 20y = 20 $

$ y = 1 $

Ответ: $x=100, y=1$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,5u - 0,6v = 0 \\ 0,4u + 1,7v = 10,9 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $u$ через $v$:

$ 0,5u = 0,6v $

$ u = \frac{0,6v}{0,5} $

$ u = 1,2v $

Подставим полученное выражение для $u$ во второе уравнение системы:

$ 0,4(1,2v) + 1,7v = 10,9 $

$ 0,48v + 1,7v = 10,9 $

$ 2,18v = 10,9 $

$ v = \frac{10,9}{2,18} $

$ v = 5 $

Теперь найдем значение $u$, подставив значение $v$ в выражение $u = 1,2v$:

$ u = 1,2 \cdot 5 $

$ u = 6 $

Ответ: $u=6, v=5$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 10x = 4,6 + 3y \\ 4y + 3,2y = 6x \end{cases} $

Сначала приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $10x - 3y = 4,6$.

Второе уравнение: $7,2y = 6x$, или $6x - 7,2y = 0$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} 10x - 3y = 4,6 \\ 6x - 7,2y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$ 6x = 7,2y $

$ x = \frac{7,2y}{6} $

$ x = 1,2y $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 10(1,2y) - 3y = 4,6 $

$ 12y - 3y = 4,6 $

$ 9y = 4,6 $

$ y = \frac{4,6}{9} = \frac{46}{90} = \frac{23}{45} $

Теперь найдем $x$:

$ x = 1,2y = \frac{12}{10} \cdot \frac{23}{45} = \frac{6}{5} \cdot \frac{23}{45} = \frac{6 \cdot 23}{5 \cdot 45} = \frac{2 \cdot 23}{5 \cdot 15} = \frac{46}{75} $

Ответ: $x = \frac{46}{75}, y = \frac{23}{45}$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -3b + 10a - 0,1 = 0 \\ 15a + 4b - 2,7 = 0 \end{cases} $

Приведем уравнения к стандартному виду $Aa + Bb = C$:

$ \begin{cases} 10a - 3b = 0,1 \\ 15a + 4b = 2,7 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными числами.

$ \begin{cases} 4(10a - 3b) = 4 \cdot 0,1 \\ 3(15a + 4b) = 3 \cdot 2,7 \end{cases} $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 40a - 12b = 0,4 \\ 45a + 12b = 8,1 \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$ (40a + 45a) + (-12b + 12b) = 0,4 + 8,1 $

$ 85a = 8,5 $

$ a = \frac{8,5}{85} $

$ a = 0,1 $

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение $10a - 3b = 0,1$, чтобы найти $b$:

$ 10 \cdot 0,1 - 3b = 0,1 $

$ 1 - 3b = 0,1 $

$ 3b = 1 - 0,1 $

$ 3b = 0,9 $

$ b = \frac{0,9}{3} $

$ b = 0,3 $

Ответ: $a=0,1, b=0,3$.

1103. Составьте уравнение вида у = kx + b, график которого проходит через точки:
а) М(5; 5) и N(−10; −19);
б) Р(4; 1) и Q(3; − 5);
в) А(8; −1) и В(−4; 17);
г) С(−19; 31) и D(1; −9).

а)

Искомое уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Поскольку график проходит через точки $M(5; 5)$ и $N(-10; -19)$, их координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты точек в уравнение и получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:

$ \begin{cases} 5 = k \cdot 5 + b \\ -19 = k \cdot (-10) + b \end{cases} $

Чтобы найти угловой коэффициент $k$, вычтем второе уравнение из первого:

$5 - (-19) = (5k + b) - (-10k + b)$

$24 = 5k + 10k$

$24 = 15k$

$k = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}$

Теперь, зная $k$, найдем $b$. Подставим значение $k$ в первое уравнение системы:

$5 = \frac{8}{5} \cdot 5 + b$

$5 = 8 + b$

$b = 5 - 8 = -3$

Таким образом, мы нашли оба коэффициента. Уравнение прямой имеет вид:

Ответ: $y = \frac{8}{5}x - 3$

б)

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P(4; 1)$ и $Q(3; -5)$. Составим систему уравнений, подставив координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} 1 = k \cdot 4 + b \\ -5 = k \cdot 3 + b \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$1 - (-5) = (4k + b) - (3k + b)$

$6 = 4k - 3k$

$k = 6$

Подставим найденное значение $k$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$1 = 6 \cdot 4 + b$

$1 = 24 + b$

$b = 1 - 24 = -23$

Искомое уравнение:

Ответ: $y = 6x - 23$

в)

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(8; -1)$ и $B(-4; 17)$. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} -1 = k \cdot 8 + b \\ 17 = k \cdot (-4) + b \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$-1 - 17 = (8k + b) - (-4k + b)$

$-18 = 8k + 4k$

$-18 = 12k$

$k = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

Подставим значение $k$ в первое уравнение:

$-1 = (-\frac{3}{2}) \cdot 8 + b$

$-1 = -12 + b$

$b = -1 + 12 = 11$

Искомое уравнение:

Ответ: $y = -\frac{3}{2}x + 11$

г)

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $C(-19; 31)$ и $D(1; -9)$. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 31 = k \cdot (-19) + b \\ -9 = k \cdot 1 + b \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$31 - (-9) = (-19k + b) - (k + b)$

$40 = -19k - k$

$40 = -20k$

$k = \frac{40}{-20} = -2$

Подставим значение $k$ во второе уравнение (оно проще):

$-9 = -2 \cdot 1 + b$

$-9 = -2 + b$

$b = -9 + 2 = -7$

Искомое уравнение:

Ответ: $y = -2x - 7$

1104. График линейной функции пересекает оси координат в точках (−5; 0) и (0; 11). Задайте эту функцию формулой.

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, который соответствует ординате точки пересечения графика с осью $Oy$.

По условию, график функции проходит через две точки: точку пересечения с осью $Ox$ $(-5; 0)$ и точку пересечения с осью $Oy$ $(0; 11)$.

Сначала найдем значение коэффициента $b$. Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координату $x=0$. По условию это точка $(0; 11)$. Подставив ее координаты в уравнение функции, получаем:

$11 = k \cdot 0 + b$

Отсюда следует, что $b = 11$.

Теперь уравнение функции принимает вид $y = kx + 11$.

Далее найдем угловой коэффициент $k$. Для этого используем координаты второй точки $(-5; 0)$, которая также лежит на графике. Подставим значения $x = -5$ и $y = 0$ в полученное уравнение:

$0 = k \cdot (-5) + 11$

$0 = -5k + 11$

Решим это уравнение относительно $k$:

$5k = 11$

$k = \frac{11}{5} = 2.2$

Теперь, зная оба коэффициента, $k=2.2$ и $b=11$, мы можем записать итоговую формулу функции, подставив их в общий вид $y = kx + b$.

Ответ: $y = 2.2x + 11$

1105. Прямая у = kx + b проходит через точки А(−1; 3) и В(2; −1). Напишите уравнение этой прямой.

Чтобы найти уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через две заданные точки, нужно найти коэффициенты $k$ и $b$. Поскольку точки A(-1; 3) и B(2; -1) принадлежат этой прямой, их координаты должны удовлетворять уравнению прямой.

1. Подставим координаты точки A(-1; 3) в уравнение $y = kx + b$:
$3 = k \cdot (-1) + b$
$3 = -k + b$

2. Подставим координаты точки B(2; -1) в уравнение $y = kx + b$:
$-1 = k \cdot 2 + b$
$-1 = 2k + b$

3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:
$\begin{cases} -k + b = 3 \\ 2k + b = -1 \end{cases}$

4. Решим эту систему. Можно вычесть первое уравнение из второго, чтобы избавиться от $b$:
$(2k + b) - (-k + b) = -1 - 3$
$2k + b + k - b = -4$
$3k = -4$
$k = -\frac{4}{3}$

5. Теперь, зная $k$, найдем $b$, подставив значение $k$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся первым уравнением $-k + b = 3$:
$-(-\frac{4}{3}) + b = 3$
$\frac{4}{3} + b = 3$
$b = 3 - \frac{4}{3}$
$b = \frac{9}{3} - \frac{4}{3}$
$b = \frac{5}{3}$

6. Мы нашли значения коэффициентов: $k = -\frac{4}{3}$ и $b = \frac{5}{3}$. Подставляем их в уравнение прямой $y = kx + b$:
$y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$

Ответ: $y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$

1106. График линейной функции пересекает ось х в точке с абсциссой 4, а ось у в точке с ординатой 11. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$.

По условию, график функции пересекает ось $x$ в точке с абсциссой 4. Это означает, что график проходит через точку с координатами $(4; 0)$.

Также по условию, график пересекает ось $y$ в точке с ординатой 11. Это означает, что график проходит через точку с координатами $(0; 11)$. Точка пересечения с осью $y$ напрямую дает нам значение коэффициента $b$. Таким образом, $b = 11$.

Теперь уравнение функции принимает вид: $y = kx + 11$.

Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим координаты точки $(4; 0)$ в полученное уравнение:

$0 = k \cdot 4 + 11$

Решим это уравнение относительно $k$:

$4k = -11$

$k = -\frac{11}{4}$

Теперь, когда мы нашли оба коэффициента ($k = -\frac{11}{4}$ и $b = 11$), мы можем записать итоговую формулу функции.

Ответ: $y = -\frac{11}{4}x + 11$

1107. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рисунке 96.

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (показывает наклон прямой), а $b$ – это ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Сначала найдем коэффициент $b$. Это значение $y$ в точке, где график пересекает ось $y$ (то есть, где $x=0$). Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$. Следовательно, $b = -1$.

Теперь найдем угловой коэффициент $k$. Для этого выберем две точки на графике, координаты которых легко определить. Мы уже знаем одну точку – $(0, -1)$. Возьмем еще одну, например, точку $(-1, 1)$.

Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты выбранных точек $(x_1, y_1) = (0, -1)$ и $(x_2, y_2) = (-1, 1)$ в эту формулу:

$k = \frac{1 - (-1)}{-1 - 0} = \frac{1 + 1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$

Итак, мы нашли, что $k = -2$ и $b = -1$.

Подставим эти значения в общее уравнение линейной функции $y = kx + b$:

$y = -2x + (-1)$

$y = -2x - 1$

Ответ: $y = -2x - 1$

1108. Решите систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}5(\mathrm{х} + 2\mathrm{у}) - 3 = \mathrm{х} + 5,\\ \mathrm{у} + 4(\mathrm{х} - 3\mathrm{у}) = 50;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}2,5(\mathrm{х} - 3\mathrm{у}) - 3 = -3\mathrm{х} + 0,5,\\ 3(\mathrm{х} + 6\mathrm{у}) + 4 = 9\mathrm{у} + 19.\end{array}\right.$

а)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 5(x+2y) - 3 = x+5, \\ y + 4(x-3y) = 50; \end{cases}$

Сначала упростим оба уравнения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Упростим первое уравнение:

$5x + 10y - 3 = x + 5$

Перенесем переменные в левую часть, а константы — в правую:

$5x - x + 10y = 5 + 3$

$4x + 10y = 8$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$2x + 5y = 4$

Теперь упростим второе уравнение:

$y + 4x - 12y = 50$

$4x - 11y = 50$

В результате мы получили более простую систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 5y = 4 \\ 4x - 11y = 50 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$-2(2x + 5y) = -2(4)$

$-4x - 10y = -8$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-4x - 10y) + (4x - 11y) = -8 + 50$

$-21y = 42$

$y = \frac{42}{-21}$

$y = -2$

Подставим найденное значение $y = -2$ в любое из упрощенных уравнений, например, в $2x + 5y = 4$:

$2x + 5(-2) = 4$

$2x - 10 = 4$

$2x = 14$

$x = 7$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(7; -2)$.

Ответ: $(7; -2)$.

б)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 2,5(x-3y) - 3 = -3x+0,5, \\ 3(x+6y) + 4 = 9y+19; \end{cases}$

Упростим оба уравнения системы.

Упростим первое уравнение. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе его части на 2:

$2 \cdot (2,5(x-3y) - 3) = 2 \cdot (-3x+0,5)$

$5(x-3y) - 6 = -6x + 1$

$5x - 15y - 6 = -6x + 1$

Перенесем переменные влево, а константы вправо:

$5x + 6x - 15y = 1 + 6$

$11x - 15y = 7$

Теперь упростим второе уравнение:

$3x + 18y + 4 = 9y + 19$

$3x + 18y - 9y = 19 - 4$

$3x + 9y = 15$

Разделим все члены уравнения на 3:

$x + 3y = 5$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 11x - 15y = 7 \\ x + 3y = 5 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 5 - 3y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$11(5 - 3y) - 15y = 7$

$55 - 33y - 15y = 7$

$55 - 48y = 7$

$-48y = 7 - 55$

$-48y = -48$

$y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=1$ в выражение $x = 5 - 3y$:

$x = 5 - 3(1)$

$x = 2$

Следовательно, решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

1109. Найдите решение системы уравнений:

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y - 2 = 0 \\ 5x - y = 11 \end{cases} $

Сначала преобразуем первое уравнение. Перенесем свободный член в правую часть и умножим обе части на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = 2$

$12 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y) = 12 \cdot 2$

$4x + 3y = 24$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 4x + 3y = 24 \\ 5x - y = 11 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5x - 11$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:

$4x + 3(5x - 11) = 24$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$4x + 15x - 33 = 24$

$19x = 24 + 33$

$19x = 57$

$x = 3$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=3$ в выражение для $y$:

$y = 5(3) - 11 = 15 - 11 = 4$

Ответ: (3, 4)

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 0,5x + 0,2y = 7 \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y = 0 \end{cases} $

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей. Второе уравнение умножим на 30 (наименьшее общее кратное для 3 и 10), чтобы избавиться от обыкновенных дробей.

$10 \cdot (0,5x + 0,2y) = 10 \cdot 7 \implies 5x + 2y = 70$

$30 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y) = 30 \cdot 0 \implies 10x - 3y = 0$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 70 \\ 10x - 3y = 0 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

$ \begin{cases} 3 \cdot (5x + 2y) = 3 \cdot 70 \\ 2 \cdot (10x - 3y) = 2 \cdot 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x + 6y = 210 \\ 20x - 6y = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(15x + 6y) + (20x - 6y) = 210 + 0$

$35x = 210$

$x = \frac{210}{35} = 6$

Подставим значение $x=6$ во второе упрощенное уравнение ($10x - 3y = 0$):

$10(6) - 3y = 0$

$60 - 3y = 0$

$3y = 60$

$y = 20$

Ответ: (6, 20)

в) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив его на 30 (наименьшее общее кратное для 5 и 6):

$30 \cdot (\frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n) = 30 \cdot 0$

$6m - 5n = 0$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 6m - 5n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $m$ через $n$:

$6m = 5n \implies m = \frac{5}{6}n$

Подставим полученное выражение для $m$ во второе уравнение:

$5(\frac{5}{6}n) - 4n = 2$

$\frac{25}{6}n - 4n = 2$

Умножим обе части уравнения на 6:

$25n - 24n = 12$

$n = 12$

Теперь найдем $m$, подставив значение $n=12$ в выражение для $m$:

$m = \frac{5}{6}(12) = 5 \cdot 2 = 10$

Ответ: (10, 12)

г) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v = -3 \\ 0,2u + 0,1v = 3,9 \end{cases} $

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6 (наименьшее общее кратное для 6 и 3), а второе на 10.

$6 \cdot (\frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v) = 6 \cdot (-3) \implies u - 2v = -18$

$10 \cdot (0,2u + 0,1v) = 10 \cdot 3,9 \implies 2u + v = 39$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} u - 2v = -18 \\ 2u + v = 39 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$ через $u$:

$v = 39 - 2u$

Подставим полученное выражение для $v$ в первое уравнение:

$u - 2(39 - 2u) = -18$

$u - 78 + 4u = -18$

$5u = 78 - 18$

$5u = 60$

$u = 12$

Теперь найдем $v$, подставив значение $u=12$ в выражение для $v$:

$v = 39 - 2(12) = 39 - 24 = 15$

Ответ: (12, 15)

1110. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 5 = 0, \\ 2x - y = 10; \end{cases} $$

Сначала преобразуем первое уравнение. Перенесем константу в правую часть и приведем дроби к общему знаменателю 12, умножив обе части уравнения на 12: $$ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 5 $$ $$ 12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{y}{4} = 12 \cdot 5 $$ $$ 4x + 3y = 60 $$

Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} 4x + 3y = 60, \\ 2x - y = 10; \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения: $$ -y = 10 - 2x \implies y = 2x - 10 $$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение: $$ 4x + 3(2x - 10) = 60 $$ $$ 4x + 6x - 30 = 60 $$ $$ 10x = 90 $$ $$ x = 9 $$

Найдем значение $y$, подставив $x = 9$ в выражение $y = 2x - 10$: $$ y = 2 \cdot 9 - 10 = 18 - 10 = 8 $$

Ответ: $(9; 8)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 7y = 4, \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{6} = 0; \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 6: $$ 6 \cdot \left(\frac{x}{6} - \frac{y}{6}\right) = 6 \cdot 0 $$ $$ x - y = 0 \implies x = y $$

Подставим $x = y$ в первое уравнение системы: $$ 2y - 7y = 4 $$ $$ -5y = 4 $$ $$ y = -\frac{4}{5} $$

Так как $x = y$, то $x$ также равен $-\frac{4}{5}$.

Ответ: $(-\frac{4}{5}; -\frac{4}{5})$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 0, \\ 3(x - 1) - 9 = 1 - y; \end{cases} $$

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6 (наименьшее общее кратное для 3 и 2): $$ 6 \cdot \frac{2x}{3} - 6 \cdot \frac{y}{2} = 6 \cdot 0 $$ $$ 4x - 3y = 0 $$

Во втором уравнении раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 3x - 3 - 9 = 1 - y $$ $$ 3x - 12 = 1 - y $$ $$ 3x + y = 13 $$

Получили систему: $$ \begin{cases} 4x - 3y = 0, \\ 3x + y = 13; \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 13 - 3x $$

Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 4x - 3(13 - 3x) = 0 $$ $$ 4x - 39 + 9x = 0 $$ $$ 13x = 39 $$ $$ x = 3 $$

Найдем $y$: $$ y = 13 - 3 \cdot 3 = 13 - 9 = 4 $$

Ответ: $(3; 4)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{5x}{6} - y = -\frac{5}{6}, \\ \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3}; \end{cases} $$

Упростим оба уравнения, избавившись от дробей. Умножим первое уравнение на 6: $$ 6 \cdot \frac{5x}{6} - 6 \cdot y = 6 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) $$ $$ 5x - 6y = -5 $$

Умножим второе уравнение на 3: $$ 3 \cdot \frac{2x}{3} + 3 \cdot 3y = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) $$ $$ 2x + 9y = -2 $$

Получили систему: $$ \begin{cases} 5x - 6y = -5, \\ 2x + 9y = -2; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 3(5x - 6y) = 3(-5) \\ 2(2x + 9y) = 2(-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 15x - 18y = -15, \\ 4x + 18y = -4; \end{cases} $$

Сложим два уравнения: $$ (15x - 18y) + (4x + 18y) = -15 + (-4) $$ $$ 19x = -19 $$ $$ x = -1 $$

Подставим $x = -1$ во второе упрощенное уравнение ($2x + 9y = -2$): $$ 2(-1) + 9y = -2 $$ $$ -2 + 9y = -2 $$ $$ 9y = 0 $$ $$ y = 0 $$

Ответ: $(-1; 0)$.