Номер 1109, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1109, страница 220.

1109. Найдите решение системы уравнений:

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y - 2 = 0 \\ 5x - y = 11 \end{cases} $

Сначала преобразуем первое уравнение. Перенесем свободный член в правую часть и умножим обе части на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = 2$

$12 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y) = 12 \cdot 2$

$4x + 3y = 24$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 4x + 3y = 24 \\ 5x - y = 11 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5x - 11$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:

$4x + 3(5x - 11) = 24$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$4x + 15x - 33 = 24$

$19x = 24 + 33$

$19x = 57$

$x = 3$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=3$ в выражение для $y$:

$y = 5(3) - 11 = 15 - 11 = 4$

Ответ: (3, 4)

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 0,5x + 0,2y = 7 \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y = 0 \end{cases} $

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей. Второе уравнение умножим на 30 (наименьшее общее кратное для 3 и 10), чтобы избавиться от обыкновенных дробей.

$10 \cdot (0,5x + 0,2y) = 10 \cdot 7 \implies 5x + 2y = 70$

$30 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y) = 30 \cdot 0 \implies 10x - 3y = 0$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 70 \\ 10x - 3y = 0 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

$ \begin{cases} 3 \cdot (5x + 2y) = 3 \cdot 70 \\ 2 \cdot (10x - 3y) = 2 \cdot 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x + 6y = 210 \\ 20x - 6y = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(15x + 6y) + (20x - 6y) = 210 + 0$

$35x = 210$

$x = \frac{210}{35} = 6$

Подставим значение $x=6$ во второе упрощенное уравнение ($10x - 3y = 0$):

$10(6) - 3y = 0$

$60 - 3y = 0$

$3y = 60$

$y = 20$

Ответ: (6, 20)

в) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив его на 30 (наименьшее общее кратное для 5 и 6):

$30 \cdot (\frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n) = 30 \cdot 0$

$6m - 5n = 0$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 6m - 5n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $m$ через $n$:

$6m = 5n \implies m = \frac{5}{6}n$

Подставим полученное выражение для $m$ во второе уравнение:

$5(\frac{5}{6}n) - 4n = 2$

$\frac{25}{6}n - 4n = 2$

Умножим обе части уравнения на 6:

$25n - 24n = 12$

$n = 12$

Теперь найдем $m$, подставив значение $n=12$ в выражение для $m$:

$m = \frac{5}{6}(12) = 5 \cdot 2 = 10$

Ответ: (10, 12)

г) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v = -3 \\ 0,2u + 0,1v = 3,9 \end{cases} $

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6 (наименьшее общее кратное для 6 и 3), а второе на 10.

$6 \cdot (\frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v) = 6 \cdot (-3) \implies u - 2v = -18$

$10 \cdot (0,2u + 0,1v) = 10 \cdot 3,9 \implies 2u + v = 39$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} u - 2v = -18 \\ 2u + v = 39 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$ через $u$:

$v = 39 - 2u$

Подставим полученное выражение для $v$ в первое уравнение:

$u - 2(39 - 2u) = -18$

$u - 78 + 4u = -18$

$5u = 78 - 18$

$5u = 60$

$u = 12$

Теперь найдем $v$, подставив значение $u=12$ в выражение для $v$:

$v = 39 - 2(12) = 39 - 24 = 15$

Ответ: (12, 15)