Номер 1103, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1103, страница 220.

1103. Составьте уравнение вида у = kx + b, график которого проходит через точки:
а) М(5; 5) и N(−10; −19);
б) Р(4; 1) и Q(3; − 5);
в) А(8; −1) и В(−4; 17);
г) С(−19; 31) и D(1; −9).

а)

Искомое уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Поскольку график проходит через точки $M(5; 5)$ и $N(-10; -19)$, их координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты точек в уравнение и получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:

$ \begin{cases} 5 = k \cdot 5 + b \\ -19 = k \cdot (-10) + b \end{cases} $

Чтобы найти угловой коэффициент $k$, вычтем второе уравнение из первого:

$5 - (-19) = (5k + b) - (-10k + b)$

$24 = 5k + 10k$

$24 = 15k$

$k = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}$

Теперь, зная $k$, найдем $b$. Подставим значение $k$ в первое уравнение системы:

$5 = \frac{8}{5} \cdot 5 + b$

$5 = 8 + b$

$b = 5 - 8 = -3$

Таким образом, мы нашли оба коэффициента. Уравнение прямой имеет вид:

Ответ: $y = \frac{8}{5}x - 3$

б)

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P(4; 1)$ и $Q(3; -5)$. Составим систему уравнений, подставив координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} 1 = k \cdot 4 + b \\ -5 = k \cdot 3 + b \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$1 - (-5) = (4k + b) - (3k + b)$

$6 = 4k - 3k$

$k = 6$

Подставим найденное значение $k$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$1 = 6 \cdot 4 + b$

$1 = 24 + b$

$b = 1 - 24 = -23$

Искомое уравнение:

Ответ: $y = 6x - 23$

в)

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(8; -1)$ и $B(-4; 17)$. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} -1 = k \cdot 8 + b \\ 17 = k \cdot (-4) + b \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$-1 - 17 = (8k + b) - (-4k + b)$

$-18 = 8k + 4k$

$-18 = 12k$

$k = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

Подставим значение $k$ в первое уравнение:

$-1 = (-\frac{3}{2}) \cdot 8 + b$

$-1 = -12 + b$

$b = -1 + 12 = 11$

Искомое уравнение:

Ответ: $y = -\frac{3}{2}x + 11$

г)

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $C(-19; 31)$ и $D(1; -9)$. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 31 = k \cdot (-19) + b \\ -9 = k \cdot 1 + b \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$31 - (-9) = (-19k + b) - (k + b)$

$40 = -19k - k$

$40 = -20k$

$k = \frac{40}{-20} = -2$

Подставим значение $k$ во второе уравнение (оно проще):

$-9 = -2 \cdot 1 + b$

$-9 = -2 + b$

$b = -9 + 2 = -7$

Искомое уравнение:

Ответ: $y = -2x - 7$