Номер 1096, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1096, страница 217.

1096. Разложите на множители:
а) х⁵ + 4а²х³ − 4ах⁴;
б) 4а⁶ − 12а⁵b + 9а⁴b².

а) $x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4$

Для разложения на множители данного многочлена первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Для всех членов многочлена общим множителем является $x^3$.

$x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4 = x^3(x^2 + 4a^2 - 4ax)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4a^2 - 4ax$. Для удобства переставим члены, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $x^2 - 4ax + 4a^2$.

Данное выражение представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$.

В нашем случае можно положить, что $u = x$ и $v = 2a$. Проверим, соответствует ли наш трехчлен этой формуле:

Первый член: $u^2 = x^2$.

Третий член: $v^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2uv = 2 \cdot x \cdot 2a = 4ax$.

Таким образом, $x^2 - 4ax + 4a^2 = (x - 2a)^2$.

Подставим полученное выражение обратно в наше разложение:

$x^3(x - 2a)^2$

Ответ: $x^3(x - 2a)^2$

б) $4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2$

Сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена. Общим множителем является $a^4$.

$4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2 = a^4(4a^2 - 12ab + 9b^2)$

Рассмотрим выражение, оставшееся в скобках: $4a^2 - 12ab + 9b^2$.

Это выражение также является полным квадратом разности. Применим формулу $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$.

В данном случае положим $u = 2a$ и $v = 3b$. Выполним проверку:

Первый член: $u^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Третий член: $v^2 = (3b)^2 = 9b^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2uv = 2 \cdot 2a \cdot 3b = 12ab$.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть по формуле: $4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$.

Подставим это в наше разложение:

$a^4(2a - 3b)^2$

Ответ: $a^4(2a - 3b)^2$