Номер 1091, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1091, страница 216.

Условие.

1091. Найдите решение системы уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}3(\mathrm{х} - 5) - 1 = 6 - 2\mathrm{х},\\ 3(\mathrm{x} - \mathrm{у}) - 7\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}6(\mathrm{x} + \mathrm{y}) - \mathrm{у} = -1,\\ 7(\mathrm{у} + 4) - (\mathrm{у} + 2) =0.\end{array}\right.$

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}3(\mathrm{х} - 5) - 1 = 6 - 2\mathrm{х},\\ 3(\mathrm{x} - \mathrm{у}) - 7\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}-15-1=6-2\mathrm{x};\\ 3\mathrm{x}-3\mathrm{y}-7\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+2\mathrm{x}=6+15+1;\\ 3\mathrm{x}-10\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=22;\\ 3\mathrm{x}-10\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,4;\\ 3·4,4-10\mathrm{y}=-4;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,4;\\ 13,2-10\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,4;\\ 10\mathrm{y}=13,2+4;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,4;\\ 10\mathrm{y}=17,2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,4;\\ \mathrm{y}=1,72.\end{array}\right.$

Ответ: (4,4; 1,72).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}6(\mathrm{x} + \mathrm{y}) - \mathrm{у} = -1;\\ 7(\mathrm{у} + 4) - (\mathrm{у} + 2) =0;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}6\mathrm{x}+6\mathrm{y}-\mathrm{y}=-1;\\ 7\mathrm{y}+28-\mathrm{y}-2=0;\end{array} \left\{\begin{array}{l}6\mathrm{x}+5\mathrm{y}=-1;\\ 6\mathrm{y}+26=0;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}6\mathrm{x}+5\mathrm{y}=-1;\\ 6\mathrm{y}=-26;\end{array} \left\{\begin{array}{l}6\mathrm{x}+5\mathrm{y}=-1;\\ \mathrm{y}=-\frac{26}{6};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-\frac{13}{3};\\ 6\mathrm{x}+5·\left(-\frac{13}{3}\right)=-1;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-\frac{13}{3};\\ 6\mathrm{x}-\frac{65}{3}=-1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-4\frac{1}{3};\\ 6\mathrm{x}=-1+\frac{65}{3};\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-4\frac{1}{3};\\ 6\mathrm{x}=\frac{-3+65}{3};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-4\frac{1}{3};\\ 6\mathrm{x}=\frac{62}{3};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-4\frac{1}{3};\\ \mathrm{x}=\frac{62}{3·6};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-4\frac{1}{3};\\ \mathrm{x}=\frac{31}{3·3};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-4\frac{1}{3};\\ \mathrm{x}=\frac{31}{9};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\frac{4}{9};\\ \mathrm{y}=-4\frac{1}{3}.\end{array}\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\left(3\frac{4}{9}; -4\frac{1}{3}\right)\mathbf{.}$

Решение 2.

a) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 3(x - 5) - 1 = 6 - 2x, \\ 3(x - y) - 7y = -4; \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, чтобы найти значение переменной $x$.
$3(x - 5) - 1 = 6 - 2x$
Раскроем скобки:
$3x - 15 - 1 = 6 - 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$3x - 16 = 6 - 2x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:
$3x + 2x = 6 + 16$
$5x = 22$
$x = \frac{22}{5} = 4.4$

Теперь упростим второе уравнение:
$3(x - y) - 7y = -4$
Раскроем скобки:
$3x - 3y - 7y = -4$
Приведем подобные слагаемые:
$3x - 10y = -4$

Подставим найденное значение $x = \frac{22}{5}$ в упрощенное второе уравнение и найдем $y$:
$3 \cdot (\frac{22}{5}) - 10y = -4$
$\frac{66}{5} - 10y = -4$
Перенесем $\frac{66}{5}$ в правую часть:
$-10y = -4 - \frac{66}{5}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$-10y = -\frac{20}{5} - \frac{66}{5}$
$-10y = -\frac{86}{5}$
Найдем $y$:
$y = \frac{-86/5}{-10} = \frac{86}{5 \cdot 10} = \frac{86}{50} = \frac{43}{25} = 1.72$

Ответ: $(\frac{22}{5}; \frac{43}{25})$

б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 6(x + y) - y = -1, \\ 7(y + 4) - (y + 2) = 0. \end{cases}$

Сначала упростим второе уравнение, так как оно содержит только одну переменную $y$.
$7(y + 4) - (y + 2) = 0$
Раскроем скобки:
$7y + 28 - y - 2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$6y + 26 = 0$
Перенесем 26 в правую часть:
$6y = -26$
Найдем $y$:
$y = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3}$

Теперь упростим первое уравнение:
$6(x + y) - y = -1$
Раскроем скобки:
$6x + 6y - y = -1$
Приведем подобные слагаемые:
$6x + 5y = -1$

Подставим найденное значение $y = -\frac{13}{3}$ в упрощенное первое уравнение и найдем $x$:
$6x + 5 \cdot (-\frac{13}{3}) = -1$
$6x - \frac{65}{3} = -1$
Перенесем $-\frac{65}{3}$ в правую часть:
$6x = -1 + \frac{65}{3}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$6x = -\frac{3}{3} + \frac{65}{3}$
$6x = \frac{62}{3}$
Найдем $x$:
$x = \frac{62}{3} \div 6 = \frac{62}{3 \cdot 6} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$

Ответ: $(\frac{31}{9}; -\frac{13}{3})$

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.