Номер 1087, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1087, страница 215.

Условие.

1087. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{u}+5\mathrm{v}=0;\\ -8\mathrm{u}+15\mathrm{v}=7;\end{array} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{u}=-5\mathrm{v};\\ -4·2\mathrm{u}+15\mathrm{v}=7;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{u}=-5\mathrm{v};\\ -4·(-5\mathrm{v})+15\mathrm{v}=7;\end{array} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{u}=-5\mathrm{v};\\ 35\mathrm{v}=7;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=\frac{7}{35};\\ 2\mathrm{u}=-5·\frac{7}{35};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=\frac{1}{5};\\ 2\mathrm{u}=-1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=-0,5;\\ \mathrm{v}=0,2.\end{array}\right.$

Ответ: u = -0,5; v = 0,2.

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{p}-3\mathrm{q}=0;\\ 3\mathrm{p}+4\mathrm{q}=29;\end{array} \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{p}=3\mathrm{q};\\ 3\mathrm{p}+4\mathrm{q}=29;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{p}=\frac{3\mathrm{q}}{5};\\ 3·\frac{3\mathrm{q}}{5}+4\mathrm{q}=29;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{p}=0,6\mathrm{q};\\ \frac{9}{5}\mathrm{q}+4\mathrm{q}=29;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{p}=0,6\mathrm{q};\\ \frac{29}{5}\mathrm{q}=29;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{q}=29:\frac{29}{5};\\ \mathrm{p}=0,6\mathrm{q};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{q}=29·\frac{5}{29};\\ \mathrm{p}=0,6·5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{q}=5;\\ \mathrm{p}=3.\end{array}\right.\right.$

Ответ: p = 3; q = 5.

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{u}+3\mathrm{v}=14;\\ 5\mathrm{u}-3\mathrm{v}=25;\end{array} \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{u}=14-3\mathrm{v};\\ 5\mathrm{u}-3\mathrm{v}=25;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\frac{14-3\mathrm{v}}{4} \left(1\right)\\ 5·\frac{14-3\mathrm{v}}{4}-3\mathrm{v}=25 \left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(2\right) \frac{5(14-3\mathrm{v})}{4}-3\mathrm{v}=25 /·4;$
5(14-3v) - 12v = 100;
70 - 15v - 12v = 100;
70 - 27v = 100;
27v = -30;
$\mathrm{v}=-\frac{30}{27};$
$\mathrm{v}=-\frac{10}{9};$
$\mathrm{v}=-1\frac{1}{9}.$

$\left(1\right) \mathrm{u}=\frac{14-3·\left(-{\displaystyle \frac{10}{9}}\right)}{4}=\frac{14+{\displaystyle \frac{10}{3}}}{4}=$

$=\frac{52}{3·4}=\frac{13}{3}=4\frac{1}{3};$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{u}\mathbf{=}\mathbf{4}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathbf{v}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{9}}\mathbf{.}$

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}10\mathrm{p}+7\mathrm{q}=-2;\\ 2\mathrm{p}-22=5\mathrm{q};\end{array} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{p}=5\mathrm{q}+22;\\ 10\mathrm{p}+7\mathrm{q}=-2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{p}=\frac{5\mathrm{q}+22}{2};\\ 10·\frac{5\mathrm{q}+22}{2}+7\mathrm{q}=-2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{p}=\frac{5\mathrm{q}+22}{2} \left(1\right)\\ 5(5\mathrm{q}+22)+7\mathrm{q}=-2 \left(2\right)\end{array}\right.$

(2) 25q + 110 + 7q = -2;
32q = -2 - 110;
32q = -112;
$\mathrm{q}=-\frac{112}{32};$
q = -3,5.

$\left(1\right) \mathrm{p}=\frac{5·(-3,5)+22}{2};$

$\mathrm{p}=\frac{-17,5+22}{2};$

$\mathrm{p}=\frac{4,5}{2}=2,25.$

Ответ: p = 2,25; q = -3,5.

Решение 2.

а) Дана система уравнений: первое уравнение $2u + 5v = 0$ и второе уравнение $-8u + 15v = 7$.
Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами: $4 \cdot (2u + 5v) = 4 \cdot 0$, что равносильно $8u + 20v = 0$.
Теперь сложим почленно полученное уравнение со вторым уравнением системы: $(8u + 20v) + (-8u + 15v) = 0 + 7$.
Приведя подобные слагаемые, получаем $35v = 7$.
Отсюда находим $v$: $v = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$.
Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение исходной системы: $2u + 5 \cdot (\frac{1}{5}) = 0$.
$2u + 1 = 0$.
$2u = -1$.
$u = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $u = -1/2, v = 1/5$.

б) Дана система уравнений: первое уравнение $5p - 3q = 0$ и второе уравнение $3p + 4q = 29$.
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $q$ стали противоположными числами: $4 \cdot (5p - 3q) = 4 \cdot 0 \implies 20p - 12q = 0$.
$3 \cdot (3p + 4q) = 3 \cdot 29 \implies 9p + 12q = 87$.
Сложим полученные уравнения: $(20p - 12q) + (9p + 12q) = 0 + 87$.
$29p = 87$.
Находим $p$: $p = \frac{87}{29} = 3$.
Подставим значение $p=3$ в первое уравнение исходной системы: $5 \cdot 3 - 3q = 0$.
$15 - 3q = 0$.
$15 = 3q$.
Находим $q$: $q = \frac{15}{3} = 5$.
Ответ: $p = 3, q = 5$.

в) Дана система уравнений: первое уравнение $4u + 3v = 14$ и второе уравнение $5u - 3v = 25$.
Коэффициенты при переменной $v$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$), поэтому можно сразу сложить уравнения.
$(4u + 3v) + (5u - 3v) = 14 + 25$.
$9u = 39$.
Находим $u$: $u = \frac{39}{9} = \frac{13}{3}$.
Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы: $4 \cdot (\frac{13}{3}) + 3v = 14$.
$\frac{52}{3} + 3v = 14$.
$3v = 14 - \frac{52}{3}$.
$3v = \frac{42}{3} - \frac{52}{3}$.
$3v = -\frac{10}{3}$.
Находим $v$: $v = -\frac{10}{9}$.
Ответ: $u = 13/3, v = -10/9$.

г) Дана система уравнений: первое уравнение $10p + 7q = -2$ и второе уравнение $2p - 22 = 5q$.
Сначала приведем второе уравнение к стандартному виду, перенеся слагаемые с переменными в левую часть, а свободный член - в правую: $2p - 5q = 22$.
Теперь решаем систему из уравнений $10p + 7q = -2$ и $2p - 5q = 22$.
Умножим второе уравнение на -5, чтобы коэффициенты при $p$ стали противоположными: $-5 \cdot (2p - 5q) = -5 \cdot 22 \implies -10p + 25q = -110$.
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы: $(10p + 7q) + (-10p + 25q) = -2 + (-110)$.
$32q = -112$.
Находим $q$: $q = -\frac{112}{32} = -\frac{7 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{7}{2}$.
Подставим найденное значение $q$ в уравнение $2p - 5q = 22$: $2p - 5 \cdot (-\frac{7}{2}) = 22$.
$2p + \frac{35}{2} = 22$.
$2p = 22 - \frac{35}{2}$.
$2p = \frac{44}{2} - \frac{35}{2}$.
$2p = \frac{9}{2}$.
Находим $p$: $p = \frac{9}{4}$.
Ответ: $p = 9/4, q = -7/2$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.