Номер 1087, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1087, страница 215.

1087. Решите систему уравнений:

а) Дана система уравнений: первое уравнение $2u + 5v = 0$ и второе уравнение $-8u + 15v = 7$.
Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами: $4 \cdot (2u + 5v) = 4 \cdot 0$, что равносильно $8u + 20v = 0$.
Теперь сложим почленно полученное уравнение со вторым уравнением системы: $(8u + 20v) + (-8u + 15v) = 0 + 7$.
Приведя подобные слагаемые, получаем $35v = 7$.
Отсюда находим $v$: $v = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$.
Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение исходной системы: $2u + 5 \cdot (\frac{1}{5}) = 0$.
$2u + 1 = 0$.
$2u = -1$.
$u = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $u = -1/2, v = 1/5$.

б) Дана система уравнений: первое уравнение $5p - 3q = 0$ и второе уравнение $3p + 4q = 29$.
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $q$ стали противоположными числами: $4 \cdot (5p - 3q) = 4 \cdot 0 \implies 20p - 12q = 0$.
$3 \cdot (3p + 4q) = 3 \cdot 29 \implies 9p + 12q = 87$.
Сложим полученные уравнения: $(20p - 12q) + (9p + 12q) = 0 + 87$.
$29p = 87$.
Находим $p$: $p = \frac{87}{29} = 3$.
Подставим значение $p=3$ в первое уравнение исходной системы: $5 \cdot 3 - 3q = 0$.
$15 - 3q = 0$.
$15 = 3q$.
Находим $q$: $q = \frac{15}{3} = 5$.
Ответ: $p = 3, q = 5$.

в) Дана система уравнений: первое уравнение $4u + 3v = 14$ и второе уравнение $5u - 3v = 25$.
Коэффициенты при переменной $v$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$), поэтому можно сразу сложить уравнения.
$(4u + 3v) + (5u - 3v) = 14 + 25$.
$9u = 39$.
Находим $u$: $u = \frac{39}{9} = \frac{13}{3}$.
Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы: $4 \cdot (\frac{13}{3}) + 3v = 14$.
$\frac{52}{3} + 3v = 14$.
$3v = 14 - \frac{52}{3}$.
$3v = \frac{42}{3} - \frac{52}{3}$.
$3v = -\frac{10}{3}$.
Находим $v$: $v = -\frac{10}{9}$.
Ответ: $u = 13/3, v = -10/9$.

г) Дана система уравнений: первое уравнение $10p + 7q = -2$ и второе уравнение $2p - 22 = 5q$.
Сначала приведем второе уравнение к стандартному виду, перенеся слагаемые с переменными в левую часть, а свободный член - в правую: $2p - 5q = 22$.
Теперь решаем систему из уравнений $10p + 7q = -2$ и $2p - 5q = 22$.
Умножим второе уравнение на -5, чтобы коэффициенты при $p$ стали противоположными: $-5 \cdot (2p - 5q) = -5 \cdot 22 \implies -10p + 25q = -110$.
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы: $(10p + 7q) + (-10p + 25q) = -2 + (-110)$.
$32q = -112$.
Находим $q$: $q = -\frac{112}{32} = -\frac{7 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{7}{2}$.
Подставим найденное значение $q$ в уравнение $2p - 5q = 22$: $2p - 5 \cdot (-\frac{7}{2}) = 22$.
$2p + \frac{35}{2} = 22$.
$2p = 22 - \frac{35}{2}$.
$2p = \frac{44}{2} - \frac{35}{2}$.
$2p = \frac{9}{2}$.
Находим $p$: $p = \frac{9}{4}$.
Ответ: $p = 9/4, q = -7/2$.