Номер 3, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Контрольные вопросы и задания - номер 3, страница 213.

Условие.

3 Что является графиком уравнения ах + bу = с с переменными х и у, где а ≠ 0 или b ≠ 0?

Решение 1.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

Решение 2.

Уравнение вида $ax + by = c$ является общим видом линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$. Графиком такого уравнения является множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Условие "$a \neq 0$ или $b \neq 0$" означает, что хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, что исключает вырожденные случаи. Чтобы определить, что является графиком, рассмотрим все возможные варианты.

Случай 1: $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
В этом случае мы можем выразить переменную $y$ через $x$:
$by = -ax + c$
$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$
Это уравнение является уравнением прямой в виде $y = kx + m$, где угловой коэффициент $k = -\frac{a}{b}$, а $m = \frac{c}{b}$ – это ордината точки пересечения с осью $Oy$. Графиком такого уравнения является наклонная прямая.

Случай 2: $a = 0$ и $b \neq 0$.
Уравнение принимает вид:
$0 \cdot x + by = c$
$by = c$
$y = \frac{c}{b}$
Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют одинаковую ординату $y = \frac{c}{b}$. Эта прямая параллельна оси $Ox$ (или совпадает с ней, если $c=0$).

Случай 3: $a \neq 0$ и $b = 0$.
Уравнение принимает вид:
$ax + 0 \cdot y = c$
$ax = c$
$x = \frac{c}{a}$
Это уравнение задает вертикальную прямую, все точки которой имеют одинаковую абсциссу $x = \frac{c}{a}$. Эта прямая параллельна оси $Oy$ (или совпадает с ней, если $c=0$).

Таким образом, во всех возможных случаях, удовлетворяющих условию "$a \neq 0$ или $b \neq 0$", графиком линейного уравнения $ax + by = c$ с двумя переменными является прямая линия.
Ответ: прямая.

Решение 3.

Решение 5.