Номер 4, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 4, страница 213.

4 Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений?

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
Решением системы уравнений с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которой вместо переменных в каждое из уравнений системы получаются верные числовые равенства.
Рассмотрим для примера систему: $$ \begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Пара чисел $(3; 2)$ является решением этой системы. Проверим это, подставив $x=3$ и $y=2$ в оба уравнения:
1) $3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$. Равенство $7 = 7$ — верное.
2) $3 - 2 = 1$. Равенство $1 = 1$ — верное.
Так как пара чисел $(3; 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы. Если бы хотя бы одно из равенств оказалось неверным, пара не была бы решением.
Ответ: Решением системы уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Что значит решить систему уравнений?
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.
При решении системы возможны три случая:
1. Система имеет единственное решение (например, $x=3$, $y=2$ в примере выше). В графической интерпретации это означает, что графики уравнений пересекаются в одной точке.
2. Система имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда, по сути, оба уравнения являются эквивалентными (например, одно получается из другого умножением на число). Графики таких уравнений совпадают.
3. Система не имеет решений (несовместна). Это происходит, когда уравнения противоречат друг другу. В графической интерпретации для линейных систем это означает, что графики уравнений (прямые) параллельны и не пересекаются.
Таким образом, результатом решения является либо конкретный набор пар чисел, либо указание на их бесконечное множество, либо вывод об отсутствии решений.
Ответ: Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.