Номер 1084, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1084, страница 215.

Условие.

1084. Решите систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} = \mathrm{х} - 1 ,\\ 5\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 16;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} = 2- \mathrm{y},\\ 3\mathrm{x} - 2\mathrm{y} - 11 = 0.\end{array}\right.$

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} = \mathrm{х} - 1;\\ 5\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 16;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1;\\ 5\mathrm{x}+2(\mathrm{x}-1)=16;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1;\\ 5\mathrm{x}+2\mathrm{x}-2=16; \end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1;\\ 7\mathrm{x}-2=16;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1;\\ 7\mathrm{x}=16+2;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1;\\ 7\mathrm{x}=18;\end{array}\right.\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1;\\ \mathrm{x}=\frac{18}{7};\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\frac{4}{7};\\ \mathrm{y}=2\frac{4}{7}-1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\frac{4}{7};\\ \mathrm{y}=1\frac{4}{7}.\end{array}\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\left(2\frac{4}{7}; 1\frac{4}{7}\right)\mathbf{.}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} = 2- \mathrm{y};\\ 3\mathrm{x} - 2\mathrm{y} - 11 = 0;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{y};\\ 3·\left(2-\mathrm{y}\right)-2\mathrm{y}=11;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{y};\\ 6-3\mathrm{y}-2\mathrm{y}=11; \end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{y};\\ 6-5\mathrm{y}=11;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{y};\\ 5\mathrm{y}=6-11;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{y};\\ 5\mathrm{y}=-5;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-1;\\ \mathrm{x}=2+1;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3;\\ \mathrm{y}=-1.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (3; -1).

Решение 2.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x - 1, \\ 5x + 2y = 16 \end{cases} $$ Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки, так как в первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$5x + 2(x - 1) = 16$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:
$5x + 2x - 2 = 16$
Приведем подобные слагаемые:
$7x - 2 = 16$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$7x = 16 + 2$
$7x = 18$
Найдем $x$:
$x = \frac{18}{7}$
Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x$ в первое уравнение системы ($y = x - 1$):
$y = \frac{18}{7} - 1 = \frac{18}{7} - \frac{7}{7} = \frac{18 - 7}{7} = \frac{11}{7}$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(\frac{18}{7}; \frac{11}{7})$.
Ответ: $(\frac{18}{7}; \frac{11}{7})$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x = 2 - y, \\ 3x - 2y - 11 = 0 \end{cases} $$ Эта система также решается методом подстановки. В первом уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3(2 - y) - 2y - 11 = 0$
Решим полученное уравнение относительно $y$. Раскроем скобки:
$6 - 3y - 2y - 11 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-5y - 5 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$-5y = 5$
Найдем $y$:
$y = \frac{5}{-5} = -1$
Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y = -1$ в первое уравнение системы ($x = 2 - y$):
$x = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$
Следовательно, решением системы является пара чисел $(3; -1)$.
Ответ: $(3; -1)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.