Номер 1090, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1090, страница 216.

Условие.

1090. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
а) 5х − 4у = 16 и х − 2у = 6;
б) 20х − 15у = 100 и 3х − у = 6.

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{х} - 4\mathrm{у} = 16;\\ \mathrm{х} - 2\mathrm{у} = 6;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6+2\mathrm{y};\\ 5(6+2\mathrm{y})-4\mathrm{y}=16;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6+2\mathrm{y};\\ 30+10\mathrm{y}-4\mathrm{y}=16;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6+2\mathrm{y};\\ 30+6\mathrm{y}=16;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6+2\mathrm{y};\\ 6\mathrm{y}=16-30;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6+2\mathrm{y};\\ 6\mathrm{y}=-14;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6+2\mathrm{y};\\ \mathrm{y}=\frac{-14}{6};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6+2\mathrm{y};\\ \mathrm{y}=-\frac{7}{3};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6+2·\left(-\frac{7}{3}\right);\\ \mathrm{y}=-\frac{7}{3};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6-\frac{14}{3};\\ \mathrm{y}=-2\frac{1}{3};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{18-14}{3};\\ \mathrm{y}=-2\frac{1}{3};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{4}{3};\\ \mathrm{y}=-2\frac{1}{3};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\frac{1}{3};\\ \mathrm{y}=-2\frac{1}{3}.\end{array}\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\left(1\frac{1}{3}; -2\frac{1}{3}\right)\mathbf{.}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}20\mathrm{х} - 15\mathrm{у} = 100;\\ 3\mathrm{х} - \mathrm{у} = 6;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}-6;\\ 20\mathrm{x}-15(3\mathrm{x}-6)=100;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}-6;\\ 20\mathrm{x}-45\mathrm{x}+90=100;\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}-6;\\ -25\mathrm{x}=100-90;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}-6;\\ -25\mathrm{x}=10;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}-6;\\ \mathrm{x}=-\frac{10}{25};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}-6;\\ \mathrm{x}=-\frac{2}{5};\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3·\left(-\frac{2}{5}\right)-6;\\ \mathrm{x}=-\frac{2}{5};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{-6}{5}-6;\\ \mathrm{x}=-\frac{2}{5};\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{-36}{5};\\ \mathrm{x}=-\frac{2}{5};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-0,4;\\ \mathrm{y}=-7,2.\end{array}\right.$

Ответ: (-0,4; -7,2).

Решение 2.

Координаты точки пересечения графиков уравнений являются решением системы этих уравнений. Чтобы найти их, не выполняя построения, нужно решить соответствующую систему.

а) $5x - 4y = 16$ и $x - 2y = 6$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 4y = 16 \\ x - 2y = 6 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 6 + 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$5(6 + 2y) - 4y = 16$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$30 + 10y - 4y = 16$

$6y = 16 - 30$

$6y = -14$

$y = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 6 + 2 \cdot (-\frac{7}{3}) = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$.

Ответ: $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$.

б) $20x - 15y = 100$ и $3x - y = 6$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 20x - 15y = 100 \\ 3x - y = 6 \end{cases} $

Удобно использовать метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 6$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$20x - 15(3x - 6) = 100$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$20x - 45x + 90 = 100$

$-25x = 100 - 90$

$-25x = 10$

$x = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -\frac{2}{5}$ в выражение для $y$:

$y = 3 \cdot (-\frac{2}{5}) - 6 = -\frac{6}{5} - 6 = -\frac{6}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{36}{5}$

Координаты точки пересечения графиков: $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$.

Ответ: $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.