Номер 1090, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1090, страница 216.

1090. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
а) 5х − 4у = 16 и х − 2у = 6;
б) 20х − 15у = 100 и 3х − у = 6.

Координаты точки пересечения графиков уравнений являются решением системы этих уравнений. Чтобы найти их, не выполняя построения, нужно решить соответствующую систему.

а) $5x - 4y = 16$ и $x - 2y = 6$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 4y = 16 \\ x - 2y = 6 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 6 + 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$5(6 + 2y) - 4y = 16$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$30 + 10y - 4y = 16$

$6y = 16 - 30$

$6y = -14$

$y = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 6 + 2 \cdot (-\frac{7}{3}) = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$.

Ответ: $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$.

б) $20x - 15y = 100$ и $3x - y = 6$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 20x - 15y = 100 \\ 3x - y = 6 \end{cases} $

Удобно использовать метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 6$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$20x - 15(3x - 6) = 100$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$20x - 45x + 90 = 100$

$-25x = 100 - 90$

$-25x = 10$

$x = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -\frac{2}{5}$ в выражение для $y$:

$y = 3 \cdot (-\frac{2}{5}) - 6 = -\frac{6}{5} - 6 = -\frac{6}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{36}{5}$

Координаты точки пересечения графиков: $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$.

Ответ: $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$.