Страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1088. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 0 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной x стали противоположными числами.

$ \begin{cases} 2(3x + 4y) = 2 \cdot 0 \\ -3(2x + 3y) = -3 \cdot 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 8y = 0 \\ -6x - 9y = -3 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения полученной системы:

$(6x + 8y) + (-6x - 9y) = 0 + (-3)$

$6x - 6x + 8y - 9y = -3$

$-y = -3$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y = 3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти x:

$3x + 4(3) = 0$

$3x + 12 = 0$

$3x = -12$

$x = -4$

Проверим решение, подставив $x = -4$ и $y = 3$ во второе уравнение исходной системы:

$2(-4) + 3(3) = -8 + 9 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $(-4; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 2y = 0 \\ 4y + 9x = 10 \end{cases} $

Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв слагаемые местами:

$ \begin{cases} 7x + 2y = 0 \\ 9x + 4y = 10 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим y через x:

$2y = -7x$

$y = -\frac{7}{2}x$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$9x + 4(-\frac{7}{2}x) = 10$

$9x - 2 \cdot 7x = 10$

$9x - 14x = 10$

$-5x = 10$

$x = -2$

Теперь найдем y, подставив значение $x = -2$ в выражение для y:

$y = -\frac{7}{2}(-2) = 7$

Проверим решение, подставив $x = -2$ и $y = 7$ в исходные уравнения:

$7(-2) + 2(7) = -14 + 14 = 0$. Верно.

$4(7) + 9(-2) = 28 - 18 = 10$. Верно.

Ответ: $(-2; 7)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 9y + 2x = 25 \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 2x + 9y = 25 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе - на -5:

$ \begin{cases} 2(5x + 6y) = 2(-20) \\ -5(2x + 9y) = -5(25) \end{cases} \implies \begin{cases} 10x + 12y = -40 \\ -10x - 45y = -125 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(10x + 12y) + (-10x - 45y) = -40 + (-125)$

$12y - 45y = -165$

$-33y = -165$

$y = \frac{-165}{-33} = 5$

Подставим $y = 5$ в первое уравнение исходной системы:

$5x + 6(5) = -20$

$5x + 30 = -20$

$5x = -50$

$x = -10$

Проверим решение, подставив $x = -10$ и $y = 5$ во второе уравнение исходной системы:

$9(5) + 2(-10) = 45 - 20 = 25$. Равенство верное.

Ответ: $(-10; 5)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 1 = 8y \\ 11y - 3x = -11 \end{cases} $

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:

$ \begin{cases} 3x - 8y = -1 \\ -3x + 11y = -11 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Коэффициенты при x уже являются противоположными числами, поэтому можно сразу сложить уравнения:

$(3x - 8y) + (-3x + 11y) = -1 + (-11)$

$3x - 3x - 8y + 11y = -12$

$3y = -12$

$y = -4$

Подставим $y = -4$ в первое преобразованное уравнение:

$3x - 8(-4) = -1$

$3x + 32 = -1$

$3x = -33$

$x = -11$

Проверим решение, подставив $x = -11$ и $y = -4$ во второе исходное уравнение:

$11(-4) - 3(-11) = -44 + 33 = -11$. Равенство верное.

Ответ: $(-11; -4)$.

1089. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений:
а) 7х + 4у = 23 и 8х − 10у = 19;
б) 11х − 6у = 2 и −8х + 5у = 3.

а) Координаты точки пересечения графиков уравнений являются решением системы этих уравнений. Составим и решим систему:

$\begin{cases} 7x + 4y = 23 \\ 8x - 10y = 19 \end{cases}$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 5, а второе на 2. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при $y$ (20 и -20).

$\begin{cases} 5 \cdot (7x + 4y) = 5 \cdot 23 \\ 2 \cdot (8x - 10y) = 2 \cdot 19 \end{cases}$

$\begin{cases} 35x + 20y = 115 \\ 16x - 20y = 38 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(35x + 16x) + (20y - 20y) = 115 + 38$

$51x = 153$

Найдем $x$:

$x = \frac{153}{51}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x = 3$ в первое исходное уравнение ($7x + 4y = 23$) для нахождения $y$:

$7 \cdot 3 + 4y = 23$

$21 + 4y = 23$

$4y = 23 - 21$

$4y = 2$

$y = \frac{2}{4} = 0.5$

Координаты точки пересечения – $(3; 0.5)$.

Ответ: $(3; 0.5)$.

б) Аналогично, найдем координаты точки пересечения, решив систему уравнений:

$\begin{cases} 11x - 6y = 2 \\ -8x + 5y = 3 \end{cases}$

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными (-30 и 30).

$\begin{cases} 5 \cdot (11x - 6y) = 5 \cdot 2 \\ 6 \cdot (-8x + 5y) = 6 \cdot 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 55x - 30y = 10 \\ -48x + 30y = 18 \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(55x - 48x) + (-30y + 30y) = 10 + 18$

$7x = 28$

Найдем $x$:

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ во второе исходное уравнение ($-8x + 5y = 3$) для нахождения $y$:

$-8 \cdot 4 + 5y = 3$

$-32 + 5y = 3$

$5y = 3 + 32$

$5y = 35$

$y = \frac{35}{5} = 7$

Координаты точки пересечения – $(4; 7)$.

Ответ: $(4; 7)$.

1090. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
а) 5х − 4у = 16 и х − 2у = 6;
б) 20х − 15у = 100 и 3х − у = 6.

Координаты точки пересечения графиков уравнений являются решением системы этих уравнений. Чтобы найти их, не выполняя построения, нужно решить соответствующую систему.

а) $5x - 4y = 16$ и $x - 2y = 6$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 4y = 16 \\ x - 2y = 6 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 6 + 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$5(6 + 2y) - 4y = 16$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$30 + 10y - 4y = 16$

$6y = 16 - 30$

$6y = -14$

$y = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 6 + 2 \cdot (-\frac{7}{3}) = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$.

Ответ: $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$.

б) $20x - 15y = 100$ и $3x - y = 6$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 20x - 15y = 100 \\ 3x - y = 6 \end{cases} $

Удобно использовать метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 6$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$20x - 15(3x - 6) = 100$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$20x - 45x + 90 = 100$

$-25x = 100 - 90$

$-25x = 10$

$x = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -\frac{2}{5}$ в выражение для $y$:

$y = 3 \cdot (-\frac{2}{5}) - 6 = -\frac{6}{5} - 6 = -\frac{6}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{36}{5}$

Координаты точки пересечения графиков: $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$.

Ответ: $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$.

1091. Найдите решение системы уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}3(\mathrm{х} - 5) - 1 = 6 - 2\mathrm{х},\\ 3(\mathrm{x} - \mathrm{у}) - 7\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}6(\mathrm{x} + \mathrm{y}) - \mathrm{у} = -1,\\ 7(\mathrm{у} + 4) - (\mathrm{у} + 2) =0.\end{array}\right.$

a) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 3(x - 5) - 1 = 6 - 2x, \\ 3(x - y) - 7y = -4; \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, чтобы найти значение переменной $x$.
$3(x - 5) - 1 = 6 - 2x$
Раскроем скобки:
$3x - 15 - 1 = 6 - 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$3x - 16 = 6 - 2x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:
$3x + 2x = 6 + 16$
$5x = 22$
$x = \frac{22}{5} = 4.4$

Теперь упростим второе уравнение:
$3(x - y) - 7y = -4$
Раскроем скобки:
$3x - 3y - 7y = -4$
Приведем подобные слагаемые:
$3x - 10y = -4$

Подставим найденное значение $x = \frac{22}{5}$ в упрощенное второе уравнение и найдем $y$:
$3 \cdot (\frac{22}{5}) - 10y = -4$
$\frac{66}{5} - 10y = -4$
Перенесем $\frac{66}{5}$ в правую часть:
$-10y = -4 - \frac{66}{5}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$-10y = -\frac{20}{5} - \frac{66}{5}$
$-10y = -\frac{86}{5}$
Найдем $y$:
$y = \frac{-86/5}{-10} = \frac{86}{5 \cdot 10} = \frac{86}{50} = \frac{43}{25} = 1.72$

Ответ: $(\frac{22}{5}; \frac{43}{25})$

б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 6(x + y) - y = -1, \\ 7(y + 4) - (y + 2) = 0. \end{cases}$

Сначала упростим второе уравнение, так как оно содержит только одну переменную $y$.
$7(y + 4) - (y + 2) = 0$
Раскроем скобки:
$7y + 28 - y - 2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$6y + 26 = 0$
Перенесем 26 в правую часть:
$6y = -26$
Найдем $y$:
$y = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3}$

Теперь упростим первое уравнение:
$6(x + y) - y = -1$
Раскроем скобки:
$6x + 6y - y = -1$
Приведем подобные слагаемые:
$6x + 5y = -1$

Подставим найденное значение $y = -\frac{13}{3}$ в упрощенное первое уравнение и найдем $x$:
$6x + 5 \cdot (-\frac{13}{3}) = -1$
$6x - \frac{65}{3} = -1$
Перенесем $-\frac{65}{3}$ в правую часть:
$6x = -1 + \frac{65}{3}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$6x = -\frac{3}{3} + \frac{65}{3}$
$6x = \frac{62}{3}$
Найдем $x$:
$x = \frac{62}{3} \div 6 = \frac{62}{3 \cdot 6} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$

Ответ: $(\frac{31}{9}; -\frac{13}{3})$

1092. Решите систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{у} + 8(\mathrm{х} - 3\mathrm{у}) = 7\mathrm{х} - 12 ,\\ 9\mathrm{х} + 3(\mathrm{х} - 9\mathrm{у}) = 11\mathrm{у} + 46;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}-2(\mathrm{а} - \mathrm{b}) + 16 = 3(\mathrm{b} + 7),\\ 6\mathrm{a} - (\mathrm{a} - 5) = -8 - (\mathrm{b} + 1).\end{array}\right.$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5y + 8(x - 3y) = 7x - 12 \\ 9x + 3(x - 9y) = 11y + 46 \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение в системе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Упростим первое уравнение:

$5y + 8 \cdot x - 8 \cdot 3y = 7x - 12$

$5y + 8x - 24y = 7x - 12$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а числовые — в правую:

$8x - 7x + 5y - 24y = -12$

$x - 19y = -12$

Упростим второе уравнение:

$9x + 3 \cdot x - 3 \cdot 9y = 11y + 46$

$9x + 3x - 27y = 11y + 46$

$12x - 27y = 11y + 46$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а числовые — в правую:

$12x - 27y - 11y = 46$

$12x - 38y = 46$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:

$6x - 19y = 23$

Теперь система уравнений имеет следующий вид:

$$ \begin{cases} x - 19y = -12 \\ 6x - 19y = 23 \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического вычитания. Вычтем из второго уравнения первое:

$(6x - 19y) - (x - 19y) = 23 - (-12)$

$6x - 19y - x + 19y = 23 + 12$

$5x = 35$

$x = \frac{35}{5}$

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x = 7$ в первое упрощенное уравнение ($x - 19y = -12$) для нахождения $y$:

$7 - 19y = -12$

$-19y = -12 - 7$

$-19y = -19$

$y = 1$

Ответ: $(7; 1)$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} -2(a - b) + 16 = 3(b + 7) \\ 6a - (a - 5) = -8 - (b + 1) \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы.

Упростим первое уравнение:

$-2a + 2b + 16 = 3b + 21$

$-2a + 2b - 3b = 21 - 16$

$-2a - b = 5$

Упростим второе уравнение:

$6a - a + 5 = -8 - b - 1$

$5a + 5 = -9 - b$

$5a + b = -9 - 5$

$5a + b = -14$

Теперь система уравнений имеет следующий вид:

$$ \begin{cases} -2a - b = 5 \\ 5a + b = -14 \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(-2a - b) + (5a + b) = 5 + (-14)$

$-2a + 5a = -9$

$3a = -9$

$a = \frac{-9}{3}$

$a = -3$

Теперь подставим найденное значение $a = -3$ во второе упрощенное уравнение ($5a + b = -14$) для нахождения $b$:

$5(-3) + b = -14$

$-15 + b = -14$

$b = -14 + 15$

$b = 1$

Ответ: $(-3; 1)$

1093. Найдите решение системы уравнений:

а) Дана система уравнений:$\begin{cases}\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4 \\\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2\end{cases}$Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), а второе уравнение на 2.$6 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{y}{2}) = 6 \cdot (-4) \implies 2x - 3y = -24$$2 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) = 2 \cdot (-2) \implies x + y = -4$Получаем новую систему:$\begin{cases}2x - 3y = -24 \\x + y = -4\end{cases}$Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3:$3 \cdot (x + y) = 3 \cdot (-4) \implies 3x + 3y = -12$Теперь сложим первое уравнение ($2x - 3y = -24$) и полученное третье ($3x + 3y = -12$):$(2x - 3y) + (3x + 3y) = -24 + (-12)$$5x = -36$$x = -\frac{36}{5} = -7.2$Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной упрощенной системы ($x + y = -4$):$-7.2 + y = -4$$y = -4 + 7.2$$y = 3.2$
Ответ: $x = -7.2, y = 3.2$.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases}\frac{a}{6} - 2b = 6 \\-3a + \frac{b}{2} = -37\end{cases}$Умножим первое уравнение на 6, а второе на 2, чтобы избавиться от знаменателей:$6 \cdot (\frac{a}{6} - 2b) = 6 \cdot 6 \implies a - 12b = 36$$2 \cdot (-3a + \frac{b}{2}) = 2 \cdot (-37) \implies -6a + b = -74$Получаем систему:$\begin{cases}a - 12b = 36 \\-6a + b = -74\end{cases}$Решим систему методом подстановки. Выразим $a$ из первого уравнения:$a = 36 + 12b$Подставим это выражение во второе уравнение:$-6(36 + 12b) + b = -74$$-216 - 72b + b = -74$$-216 - 71b = -74$$-71b = -74 + 216$$-71b = 142$$b = \frac{142}{-71} = -2$Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение для $a$:$a = 36 + 12(-2) = 36 - 24 = 12$
Ответ: $a=12, b=-2$.

в) Дана система уравнений:$\begin{cases}\frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1 \\\frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4\end{cases}$Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 15 (наименьшее общее кратное для 5 и 3), а второе на 30 (наименьшее общее кратное для 10 и 6).$15 \cdot (\frac{2m}{5} + \frac{n}{3}) = 15 \cdot 1 \implies 3 \cdot 2m + 5 \cdot n = 15 \implies 6m + 5n = 15$$30 \cdot (\frac{m}{10} - \frac{7n}{6}) = 30 \cdot 4 \implies 3 \cdot m - 5 \cdot 7n = 120 \implies 3m - 35n = 120$Получаем систему:$\begin{cases}6m + 5n = 15 \\3m - 35n = 120\end{cases}$Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными:$-2 \cdot (3m - 35n) = -2 \cdot 120 \implies -6m + 70n = -240$Сложим первое уравнение ($6m + 5n = 15$) с полученным новым уравнением:$(6m + 5n) + (-6m + 70n) = 15 + (-240)$$75n = -225$$n = \frac{-225}{75} = -3$Подставим значение $n$ в первое упрощенное уравнение ($6m + 5n = 15$):$6m + 5(-3) = 15$$6m - 15 = 15$$6m = 30$$m = 5$
Ответ: $m=5, n=-3$.

г) Дана система уравнений:$\begin{cases}7x - \frac{3y}{5} = -4 \\x + \frac{2y}{5} = -3\end{cases}$Умножим оба уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателей:$5 \cdot (7x - \frac{3y}{5}) = 5 \cdot (-4) \implies 35x - 3y = -20$$5 \cdot (x + \frac{2y}{5}) = 5 \cdot (-3) \implies 5x + 2y = -15$Получаем систему:$\begin{cases}35x - 3y = -20 \\5x + 2y = -15\end{cases}$Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:$2(35x - 3y) = 2(-20) \implies 70x - 6y = -40$$3(5x + 2y) = 3(-15) \implies 15x + 6y = -45$Сложим полученные уравнения:$(70x - 6y) + (15x + 6y) = -40 + (-45)$$85x = -85$$x = -1$Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение ($5x + 2y = -15$):$5(-1) + 2y = -15$$-5 + 2y = -15$$2y = -10$$y = -5$
Ответ: $x=-1, y=-5$.

1094. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6 \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0 \end{cases} $$

Для избавления от дробей в первом уравнении, умножим его на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:

$20 \cdot (\frac{y}{4} - \frac{x}{5}) = 20 \cdot 6$

$5y - 4x = 120$

Во втором уравнении, умножим его на наименьшее общее кратное знаменателей 15 и 12, то есть на 60:

$60 \cdot (\frac{x}{15} + \frac{y}{12}) = 60 \cdot 0$

$4x + 5y = 0$

Получим эквивалентную систему, которую решим методом сложения:

$$ \begin{cases} -4x + 5y = 120 \\ 4x + 5y = 0 \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $x$:

$(-4x + 5y) + (4x + 5y) = 120 + 0$

$10y = 120$

$y = 12$

Подставим найденное значение $y = 12$ во второе уравнение преобразованной системы:

$4x + 5(12) = 0$

$4x + 60 = 0$

$4x = -60$

$x = -15$

Ответ: $x = -15, y = 12$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3 \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2 \end{cases} $$

Умножим обе части каждого уравнения, чтобы избавиться от дробей.

Для первого уравнения, наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 15 равно 15. Учитывая десятичную дробь 2,3, удобно умножить все уравнение на 30 (НОК(5, 15, 10)):

$30 \cdot (\frac{6x}{5} + \frac{y}{15}) = 30 \cdot 2,3$

$6 \cdot 6x + 2 \cdot y = 69$

$36x + 2y = 69$

Для второго уравнения, наименьшее общее кратное знаменателей 10 и 3 равно 30. Учитывая десятичную дробь 1,2, умножим все уравнение на 30 (НОК(10, 3, 10)):

$30 \cdot (\frac{x}{10} - \frac{2y}{3}) = 30 \cdot 1,2$

$3x - 10 \cdot 2y = 36$

$3x - 20y = 36$

Получим систему:

$$ \begin{cases} 36x + 2y = 69 \\ 3x - 20y = 36 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 10, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$10 \cdot (36x + 2y) = 10 \cdot 69 \implies 360x + 20y = 690$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(360x + 20y) + (3x - 20y) = 690 + 36$

$363x = 726$

$x = 2$

Подставим $x = 2$ во второе уравнение преобразованной системы ($3x - 20y = 36$):

$3(2) - 20y = 36$

$6 - 20y = 36$

$-20y = 30$

$y = -\frac{30}{20} = -1,5$

Ответ: $x = 2, y = -1,5$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{3x}{2} - y = 6 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, умножив его на НОК(2, 3) = 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 2$

$3x - 2y = 12$

Упростим второе уравнение, умножив его на 2:

$2 \cdot (\frac{3x}{2} - y) = 2 \cdot 6$

$3x - 2y = 12$

Оба уравнения системы приводятся к одному и тому же виду: $3x - 2y = 12$. Это означает, что уравнения линейно зависимы, и система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая этому уравнению, является решением системы.

Выразим $y$ через $x$:

$2y = 3x - 12$

$y = \frac{3x - 12}{2} = \frac{3}{2}x - 6$

Таким образом, решениями являются все пары $(x, y)$, где $y = \frac{3}{2}x - 6$, а $x$ - любое действительное число.

Ответ: система имеет бесконечно много решений вида $(x, \frac{3}{2}x - 6)$, где $x$ — любое число.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x}{5} - 2y = 5 \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 5:

$5 \cdot (\frac{3x}{5} - 2y) = 5 \cdot 5$

$3x - 10y = 25$

Умножим второе уравнение на 2:

$2 \cdot (x - \frac{3y}{2}) = 2 \cdot 6,5$

$2x - 3y = 13$

Получим систему:

$$ \begin{cases} 3x - 10y = 25 \\ 2x - 3y = 13 \end{cases} $$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$2 \cdot (3x - 10y) = 2 \cdot 25 \implies 6x - 20y = 50$

$-3 \cdot (2x - 3y) = -3 \cdot 13 \implies -6x + 9y = -39$

Сложим полученные уравнения:

$(6x - 20y) + (-6x + 9y) = 50 - 39$

$-11y = 11$

$y = -1$

Подставим значение $y = -1$ во второе преобразованное уравнение ($2x - 3y = 13$):

$2x - 3(-1) = 13$

$2x + 3 = 13$

$2x = 10$

$x = 5$

Ответ: $x = 5, y = -1$.